\( \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 18Köklü sayılarla çarpma işlemi yaparken, genellikle iki temel yaklaşım kullanırız: ya önce kök içindeki sayıları çarparız ya da önce her bir köklü sayıyı sadeleştiririz. Bu soruda, ikinci yaklaşımı, yani önce sadeleştirme yöntemini adım adım uygulayalım. Bu yöntem, genellikle daha küçük sayılarla işlem yapmamızı sağlayarak hata yapma olasılığımızı azaltır.
Bir köklü sayıyı sadeleştirmek için, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını buluruz. Amacımız, kök dışına çıkarılabilecek en büyük tam kare çarpanı bulmaktır.
$ \sqrt{12} $ sayısını sadeleştirelim:
12 sayısının çarpanları arasında bir tam kare sayı arıyoruz. $12 = 4 \cdot 3$ olduğunu biliyoruz ve 4 bir tam karedir ($2^2 = 4$).
Köklü sayılar özelliğine göre $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ olduğundan, $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} $ şeklinde yazabiliriz.
$ \sqrt{4} = 2 $ olduğu için, $ \sqrt{12} $ ifadesi $ 2\sqrt{3} $ olarak sadeleşir.
$ \sqrt{27} $ sayısını sadeleştirelim:
27 sayısının çarpanları arasında bir tam kare sayı arıyoruz. $27 = 9 \cdot 3$ olduğunu biliyoruz ve 9 bir tam karedir ($3^2 = 9$).
Yine aynı özellikle, $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} $ şeklinde yazabiliriz.
$ \sqrt{9} = 3 $ olduğu için, $ \sqrt{27} $ ifadesi $ 3\sqrt{3} $ olarak sadeleşir.
Şimdi sadeleştirdiğimiz ifadeleri çarpalım: $ (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) $.
Köklü sayılarda çarpma işlemi yaparken, kök dışındaki (katsayı) sayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılır.
Kök dışındaki sayıları çarpalım: $ 2 \cdot 3 = 6 $.
Kök içindeki sayıları çarpalım: $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} $.
Unutmayın ki $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $ kuralı vardır. Bu durumda, $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 $ olur.
Şimdi bu iki sonucu birleştirelim (kök dışı çarpım ile kök içi çarpımının sonucunu): $ 6 \cdot 3 = 18 $.
Yapılan işlemler sonucunda $ \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} $ işleminin sonucu $ 18 $ olarak bulunmuştur. Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
