9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 9

Bir matematik öğretmeni tahtaya 3,14 ve 3,15 sayılarını yazmıştır. Arada olma özelliğini kullanarak bu iki sayı arasında $\pi$ sayısının bulunduğunu ispatlamak istemektedir.
Bu ispatın doğru olabilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisinin sağlanması gerekir?

A) 3,14 < $\pi$ < 3,15
B) $\pi$ > 3,14
C) $\pi$ < 3,15
D) 3,14 ve 3,15'nin rasyonel olması

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir sayının başka iki sayı arasında bulunma özelliğini kullanarak $\pi$ sayısının $3,14$ ve $3,15$ arasında olduğunu nasıl ispatlayabileceğimizi anlamaya çalışacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Arada Olma Özelliği Nedir?

  Bir sayının, başka iki sayı arasında olduğunu söylemek, o sayının bu iki sayıdan birinden büyük, diğerinden ise küçük olması demektir. Örneğin, bir $x$ sayısının $a$ ve $b$ sayıları arasında olduğunu söylemek için, $a < x < b$ (eğer $a < b$ ise) koşulunun sağlanması gerekir. Bu, $x$'in hem $a$'dan büyük hem de $b$'den küçük olduğu anlamına gelir.

• Sorumuzdaki Durum:

  Matematik öğretmenimiz $3,14$ ve $3,15$ sayılarını tahtaya yazmış ve $\pi$ sayısının bu iki sayı arasında bulunduğunu ispatlamak istemektedir. Yukarıda açıkladığımız "arada olma özelliği"ne göre, $\pi$ sayısının $3,14$ ve $3,15$ arasında bulunması için $\pi$'nin hem $3,14$'ten büyük hem de $3,15$'ten küçük olması gerekmektedir.

• Matematiksel İfade:

  Bu durumu matematiksel olarak ifade edersek, $3,14 < \pi < 3,15$ şeklinde yazmalıyız. Bu ifade, $\pi$'nin $3,14$ ile $3,15$ aralığında yer aldığını kesin olarak gösterir.

• Seçenekleri İnceleyelim:
• A) $3,14 < \pi < 3,15$: Bu ifade, $\pi$'nin hem $3,14$'ten büyük hem de $3,15$'ten küçük olduğunu belirtir. Bu, "arada olma özelliği"nin tam karşılığıdır ve ispatın doğru olabilmesi için sağlanması gereken koşuldur.
• B) $\pi > 3,14$: Bu ifade sadece $\pi$'nin $3,14$'ten büyük olduğunu söyler. Ancak $\pi$, $3,15$'ten de büyük olabilir (örneğin $3,16$). Bu durumda $\pi$, $3,14$ ve $3,15$ arasında olmaz. Dolayısıyla tek başına yeterli değildir.
• C) $\pi < 3,15$: Bu ifade sadece $\pi$'nin $3,15$'ten küçük olduğunu söyler. Ancak $\pi$, $3,14$'ten de küçük olabilir (örneğin $3,13$). Bu durumda $\pi$, $3,14$ ve $3,15$ arasında olmaz. Dolayısıyla tek başına yeterli değildir.
• D) $3,14$ ve $3,15$'nin rasyonel olması: $3,14$ ve $3,15$ sayıları gerçekten rasyonel sayılardır. Ancak bir sayının başka iki sayı arasında bulunması için, bu iki sayının rasyonel olup olmaması bir koşul değildir. Bu, ispatın kendisiyle değil, sayıların türüyle ilgili bir bilgidir ve "arada olma özelliği"nin sağlanması için gerekli bir şart değildir.
• Sonuç:

  Bir sayının iki sayı arasında olduğunu ispatlamak için, o sayının küçük sayıdan büyük ve büyük sayıdan küçük olduğunu aynı anda göstermemiz gerekir. Bu da A seçeneğinde verilen eşitsizlik ile ifade edilir.

Cevap A seçeneğidir.