Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde ardışık iki tam sayının kareleri toplamı verilmiş ve bizden bu sayıların çarpımını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
-
1. Adım: Sayıları Tanımlayalım
Ardışık iki tam sayıdan bahsedildiği için, bu sayılardan birine $x$ dersek, diğer sayı $x+1$ olacaktır. (Örneğin, 5 ve 6 gibi, ya da -3 ve -2 gibi.)
-
2. Adım: Denklemi Kuralım
Soruda bu sayıların kareleri toplamının 145 olduğu belirtiliyor. O halde, denklemi şu şekilde yazabiliriz:
$x^2 + (x+1)^2 = 145$
-
3. Adım: Denklemi Çözelim
Şimdi bu denklemi adım adım çözelim:
- Öncelikle $(x+1)^2$ ifadesini açalım: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
- Denklemde yerine yazalım: $x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 145$.
- Benzer terimleri birleştirelim: $2x^2 + 2x + 1 = 145$.
- Denklemi sıfıra eşitlemek için 145'i sol tarafa alalım: $2x^2 + 2x + 1 - 145 = 0$.
- Denklemi düzenleyelim: $2x^2 + 2x - 144 = 0$.
- Denklemin her tarafını 2'ye bölerek sadeleştirelim (bu işlemi yapmak denklemin çözümünü kolaylaştırır): $x^2 + x - 72 = 0$.
- Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak $x$ değerlerini bulalım. Çarpımları $-72$ ve toplamları $1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $9$ ve $-8$'dir.
- Yani denklemi $(x+9)(x-8) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Buradan iki olası $x$ değeri buluruz:
- $x+9 = 0 \Rightarrow x = -9$
- $x-8 = 0 \Rightarrow x = 8$
-
4. Adım: Sayıları Bulalım
İki farklı $x$ değeri bulduk. Her iki durumu da inceleyelim:
- Durum 1: Eğer $x = 8$ ise, ardışık sayılarımız $8$ ve $x+1 = 8+1 = 9$ olur.
- Kontrol edelim: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$. Bu doğru!
- Durum 2: Eğer $x = -9$ ise, ardışık sayılarımız $-9$ ve $x+1 = -9+1 = -8$ olur.
- Kontrol edelim: $(-9)^2 + (-8)^2 = 81 + 64 = 145$. Bu da doğru!
Gördüğünüz gibi, her iki sayı çifti de sorudaki koşulu sağlamaktadır.
-
5. Adım: Sayıların Çarpımını Bulalım
Soruda bizden bu sayıların çarpımı isteniyor. Her iki durum için de çarpımı hesaplayalım:
- Durum 1 için: $8 \times 9 = 72$.
- Durum 2 için: $(-9) \times (-8) = 72$.
Her iki durumda da sonuç aynı çıktı! Demek ki doğru cevabı bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
