Soru:
\(2^a \times 3^b \times 5^2\) şeklinde yazılabilen 450 sayısının bir tam kare olabilmesi için a ve b doğal sayılarının alabileceği en küçük değerleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir sayının tam kare olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrıldığında tüm üslerin çift sayı olması gerekir.
- ➡️ İlk adım, 450'yi asal çarpanlarına ayırmaktır: \(450 = 45 \times 10 = (9 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^1 \times 3^2 \times 5^2\).
- ➡️ Şimdi üslere bakalım: 2'nin üssü 1 (tek), 3'ün üssü 2 (çift), 5'in üssü 2 (çift).
- ➡️ Tek üslü olan asal çarpanı (2) tam kare yapmak için üssünü çift yapmalıyız. 2'nin üssü 1'di, en küçük çift sayı yapmak için 1'e 1 ekleyip 2 yaparız. Yani a=2 olmalı.
- ➡️ 3'ün üssü zaten çift (2). Bu yüzden onu değiştirmemize gerek yok. Yani b=2 olarak kalır.
✅ Sonuç: Sayının tam kare olması için a'nın en küçük değeri 2, b'nin en küçük değeri ise 2'dir. Bu durumda sayımız \(2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2 = 900\) olur.
