Soru:
\(a\) ve \(b\) birer tam sayıdır. \(a^2 \times b = 288\) eşitliğini sağlayan en küçük \(b\) tam sayısı için, \(a + b\) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu soruda, çarpımı bir tam kare yapacak şekilde \(b\)'yi seçmeliyiz ki \(a\) bir tam sayı olabilsin.
- ➡️ İlk adım, 288'i asal çarpanlarına ayırmak: \(288 = 2 \times 144 = 2 \times 12^2 = 2 \times (2^2 \times 3)^2 = 2 \times 2^4 \times 3^2 = 2^5 \times 3^2\).
- ➡️ Bir sayının tam kare olması için tüm asal çarpanlarının kuvvetlerinin çift olması gerekir. 288'in asal çarpanlarına baktığımızda \(2^5\) ve \(3^2\) görüyoruz. 3'ün kuvveti zaten çift (2), ancak 2'nin kuvveti tek (5).
- ➡️ \(a^2 \times b = 288\) ifadesinin bir tam kare olabilmesi için, \(b\)'nin 2'nin kuvvetini çift yapması gerekir. \(2^5\)'i tam kare yapmak için en az bir tane daha 2'ye ihtiyacımız var, yani \(b\) en az \(2^1 = 2\) olmalıdır.
- ➡️ O zaman denklem: \(a^2 \times 2 = 288\) -> \(a^2 = 144\) -> \(a = 12\) (pozitif tam sayı olarak alıyoruz).
- ➡️ \(a + b = 12 + 2 = 14\).
✅ Sonuç: \(a + b = 14\)'tür.
