Bu soruyu çözmek için, verilen kümeleri sayı doğrusu üzerinde görselleştirmek ve birleşim kümesinin tanımını hatırlamak en iyi yoldur.
- Öncelikle, verilen kümeleri daha anlaşılır bir şekilde aralık (interval) gösterimiyle yazalım:
- $A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x < 4\}$ kümesi, $-1$ dahil ve $4$ hariç tüm reel sayıları içerir. Aralık gösterimiyle bu küme $A = [-1, 4)$ şeklinde ifade edilir.
- $B = \{x \in \mathbb{R} | 2 < x \leq 6\}$ kümesi, $2$ hariç ve $6$ dahil tüm reel sayıları içerir. Aralık gösterimiyle bu küme $B = (2, 6]$ şeklinde ifade edilir.
- Birleşim kümesi $A \cup B$, $A$ kümesindeki tüm elemanları, $B$ kümesindeki tüm elemanları ve her iki kümede de bulunan elemanları içeren kümedir. Başka bir deyişle, $x \in A$ veya $x \in B$ koşulunu sağlayan tüm $x$ değerlerinden oluşur.
- Şimdi bu kümeleri bir sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
- $A$ kümesi, sayı doğrusunda $-1$'den başlayıp (kapalı aralık, yani $-1$ dahil) $4$'e kadar (açık aralık, yani $4$ hariç) uzanır.
- $B$ kümesi, sayı doğrusunda $2$'den başlayıp (açık aralık, yani $2$ hariç) $6$'ya kadar (kapalı aralık, yani $6$ dahil) uzanır.
- $A \cup B$ kümesini bulmak için, bu iki aralığın sayı doğrusu üzerindeki "birleşmiş" veya "kapladığı" en geniş alanı bulmalıyız.
- Birleşim kümesinin başlangıç noktası, iki kümenin en soldaki başlangıç noktası olacaktır. $A$ kümesi $-1$'den başlar ve $-1$ dahildir. $B$ kümesi $2$'den başlar. Dolayısıyla, birleşim kümesi $-1$'den başlayacaktır ve $-1$ dahil olacaktır.
- Birleşim kümesinin bitiş noktası, iki kümenin en sağdaki bitiş noktası olacaktır. $A$ kümesi $4$'te biter (hariç). $B$ kümesi $6$'da biter ve $6$ dahildir. Dolayısıyla, birleşim kümesi $6$'da bitecektir ve $6$ dahil olacaktır.
- $-1$ ile $6$ arasındaki tüm sayılar, ya $A$ kümesinde ($[-1, 4)$ aralığı), ya $B$ kümesinde ($(2, 6]$ aralığı) ya da her ikisinde birden bulunur. Örneğin, $0$ sayısı $A$'dadır. $3$ sayısı hem $A$ hem de $B$'dedir. $5$ sayısı $B$'dedir.
- Bu durumda, $A \cup B$ kümesi $-1$'den $6$'ya kadar olan tüm reel sayıları içerir ve hem $-1$ hem de $6$ bu kümeye dahildir. Aralık gösterimiyle bu küme $[-1, 6]$ şeklinde yazılır.
- Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
