10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Test 2

1 + tan²θ = sec²θ özdeşliğine göre, tanθ = 2 olduğunda secθ değeri kaçtır?

A) √3
B) √5
C) 3
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, trigonometrik bir özdeşlik kullanarak verilen bir değerden başka bir trigonometrik değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen Özdeşliği Anlayalım:

  Bize verilen özdeşlik $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$'dır. Bu özdeşlik, bir açının tanjantı ile sekantı arasındaki ilişkiyi gösterir. $\tan^2\theta$ demek $(\tan\theta)^2$ demektir, yani tanjant değerinin karesi alınmış halidir. Aynı şekilde $\sec^2\theta$ da $(\sec\theta)^2$ demektir.

• Verilen Değeri Yerine Koyalım:

  Soruda bize $\tan\theta = 2$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu değeri özdeşlikteki $\tan\theta$ yerine yazalım:

  $1 + (2)^2 = \sec^2\theta$

• Kare Alma İşlemini Yapalım:

  Şimdi $2$'nin karesini alalım:

  $2^2 = 4$

  Bu değeri denklemimize geri yazalım:

  $1 + 4 = \sec^2\theta$

• Toplama İşlemini Yapalım:

  Denklemin sol tarafındaki toplama işlemini gerçekleştirelim:

  $5 = \sec^2\theta$

• $\sec\theta$ Değerini Bulalım:

  Bizden $\sec\theta$ değeri isteniyor, $\sec^2\theta$ değil. Bu yüzden denklemin her iki tarafının karekökünü almalıyız:

  $\sqrt{5} = \sqrt{\sec^2\theta}$

  Buradan $\sec\theta = \sqrt{5}$ sonucunu elde ederiz. (Genellikle bu tür sorularda açının hangi bölgede olduğuna dair bilgi verilmediğinde ve şıklarda pozitif değerler olduğunda pozitif karekök alınır.)

• Cevabı Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $\sqrt{5}$ değeri seçeneklerde mevcuttur.

Cevap B seçeneğidir.