Bir gökbilimci, bir gezegenin yıldızına olan mesafesini hesaplamak için karekök kullanır. Yıldızın parlaklığı 100 birim, gezegendeki gözlemlenen parlaklık 25 birim ise, gezegenin yıldızına uzaklığı kaç astronomik birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Bu soruda, bir gezegenin yıldızına olan uzaklığını, yıldızın parlaklığı ve gezegende gözlemlenen parlaklığı arasındaki ilişkiyi kullanarak hesaplayacağız. Gökbilimde, bir ışık kaynağının parlaklığı ile uzaklığı arasında ters kare yasası adı verilen önemli bir ilişki bulunur. Bu ilişkiyi anlamak, soruyu çözmemizin anahtarı olacak.
- Parlaklık ve Uzaklık İlişkisi: Bir yıldızdan yayılan ışığın parlaklığı, uzaklaştıkça azalır. Bu azalma, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Yani, bir yıldızdan iki kat uzağa giderseniz, parlaklığı dört kat daha az gözlemlersiniz. Bu ilişkiyi matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
- $B_{gözlemlenen} = \frac{B_{yıldız}}{d^2}$
- Burada:
- $B_{gözlemlenen}$: Gezegende gözlemlenen parlaklık
- $B_{yıldız}$: Yıldızın gerçek parlaklığı (veya belirli bir referans mesafedeki parlaklığı)
- $d$: Gezegenin yıldıza olan uzaklığıdır.
- Verilen Bilgileri Yerine Koyma: Soruda bize verilen değerler şunlardır:
- Yıldızın parlaklığı ($B_{yıldız}$) = $100$ birim
- Gezegende gözlemlenen parlaklık ($B_{gözlemlenen}$) = $25$ birim
- Bu değerleri formülümüzde yerine koyalım:
- $25 = \frac{100}{d^2}$
- Uzaklığı ($d$) Bulmak İçin Denklemi Çözme: Şimdi $d$ değerini bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim. Amacımız $d$ değerini yalnız bırakmaktır.
- Önce $d^2$ terimini denklemin bir tarafına alalım:
- $d^2 = \frac{100}{25}$
- Şimdi bölme işlemini yapalım:
- $d^2 = 4$
- Son olarak, $d$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $d = \sqrt{4}$
- $d = 2$
- Yani, gezegenin yıldızına olan uzaklığı $2$ astronomik birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
