ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde ve |BD| = 2|DC|'dir. E noktası [AC] kenarı üzerinde ve |AE| = |EC|'dir. AD ve BE doğru parçalarının kesişim noktası K olduğuna göre, |AK|/|KD| oranı kaçtır?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/2
D) 2
Bu tür geometri problemlerini çözerken, genellikle yardımcı bir çizim yapmak veya benzer üçgenleri kullanmak işimizi kolaylaştırır. Bu soruda da bir paralel doğru çizerek benzer üçgenler oluşturacağız.
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- ABC bir üçgen.
- D noktası [BC] kenarı üzerinde ve $|BD| = 2|DC|$'dir. Bu, BC kenarının D noktası tarafından 2:1 oranında bölündüğü anlamına gelir. Yani, $|BC| = |BD| + |DC| = 2|DC| + |DC| = 3|DC|$'dir.
- E noktası [AC] kenarı üzerinde ve $|AE| = |EC|$'dir. Bu, E noktasının [AC] kenarının orta noktası olduğu anlamına gelir.
- AD ve BE doğru parçaları K noktasında kesişiyor.
- Bizden istenen oran $|AK|/|KD|$'dir.
- Yardımcı Çizim Yapalım:
- D noktasından, BE doğrusuna paralel olacak şekilde bir doğru çizelim. Bu doğru, AC kenarını F noktasında kessin. Yani, $DF \parallel BE$ olsun.
- Bu çizim sayesinde iki farklı benzer üçgen çifti elde edeceğiz.
- Birinci Benzer Üçgen Çiftini İnceleyelim ($\triangle CDF$ ve $\triangle CBE$):
- $DF \parallel BE$ olduğu için, $\triangle CDF$ üçgeni ile $\triangle CBE$ üçgeni benzerdir (Temel Orantı Teoremi veya Açı-Açı benzerliği).
- Benzerlik oranını yazalım: $\frac{|CD|}{|CB|} = \frac{|CF|}{|CE|}$.
- Verilen $|BD| = 2|DC|$ bilgisini kullanarak $|CD|/|CB|$ oranını bulalım: $|CD|/|CB| = |DC|/(3|DC|) = 1/3$.
- Şimdi benzerlik oranını yerine yazalım: $\frac{|CF|}{|CE|} = \frac{1}{3}$. Buradan $|CF| = \frac{1}{3}|CE|$ sonucunu elde ederiz.
- E noktasının [AC] kenarının orta noktası olduğunu biliyoruz, yani $|AE| = |EC|$'dir. Eğer $|EC| = x$ dersek, o zaman $|AE| = x$ olur.
- Bu durumda, $|CF| = \frac{1}{3}x$ olur.
- Şimdi [AC] kenarı üzerindeki EF uzunluğunu bulalım: $|EF| = |EC| - |CF| = x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.
- İkinci Benzer Üçgen Çiftini İnceleyelim ($\triangle AKE$ ve $\triangle ADF$):
- $DF \parallel BE$ olduğunu çizmiştik. K noktası BE doğrusu üzerinde olduğu için, $EK \parallel DF$ olur.
- Bu durumda, $\triangle AKE$ üçgeni ile $\triangle ADF$ üçgeni benzerdir (Temel Orantı Teoremi veya Açı-Açı benzerliği).
- Benzerlik oranını yazalım: $\frac{|AK|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AF|}$.
- [AF] uzunluğunu bulalım: $|AF| = |AE| + |EF|$. Daha önce $|AE| = x$ ve $|EF| = \frac{2}{3}x$ bulmuştuk.
- Yani, $|AF| = x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$.
- Şimdi benzerlik oranını yerine yazalım: $\frac{|AK|}{|AD|} = \frac{x}{\frac{5}{3}x} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.
- Bu oran bize $|AK| = \frac{3}{5}|AD|$ olduğunu söyler.
- İstenen Oranı Bulalım:
- $|AD|$ uzunluğu, $|AK|$ ve $|KD|$ uzunluklarının toplamıdır: $|AD| = |AK| + |KD|$.
- $|AK| = \frac{3}{5}|AD|$ olduğuna göre, $|KD|$ uzunluğunu bulabiliriz:
$|KD| = |AD| - |AK| = |AD| - \frac{3}{5}|AD| = \frac{2}{5}|AD|$.
- Son olarak, bizden istenen $|AK|/|KD|$ oranını hesaplayalım:
$\frac{|AK|}{|KD|} = \frac{\frac{3}{5}|AD|}{\frac{2}{5}|AD|} = \frac{3}{2}$.
Cevap C seçeneğidir.
