ABC dik üçgeninde m(∠A) = 90°, |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm'dir. Üçgenin ağırlık merkezi G olduğuna göre, |AG| kaç cm'dir?
A) 10/3Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir dik üçgenin ağırlık merkezini kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. Hipotenüs uzunluğunu bulalım:
ABC dik üçgeninde $m(\angle A) = 90^\circ$ olduğu verilmiş. Bu durumda BC kenarı hipotenüstür. Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün uzunluğunu bulabiliriz:
$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$
$|BC|^2 = 6^2 + 8^2$
$|BC|^2 = 36 + 64$
$|BC|^2 = 100$
$|BC| = \sqrt{100} = 10$ cm.
2. A köşesinden çıkan kenarortayın (medianın) uzunluğunu bulalım:
Ağırlık merkezi (G), üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. A köşesinden çıkan kenarortay, BC kenarının orta noktasına gider. Bu orta noktaya D diyelim. Yani AD, A köşesinden çıkan kenarortaydır.
Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortayın çok özel bir özelliği vardır: Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir. Bu kurala göre:
$|AD| = rac{1}{2} |BC|$
$|AD| = rac{1}{2} \times 10$
$|AD| = 5$ cm.
3. Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranını kullanalım:
Ağırlık merkezi (G), her bir kenarortayı köşeden kenara doğru $2:1$ oranında böler. Yani, A köşesinden çıkan AD kenarortayı için G noktası, A'dan G'ye olan uzaklığın (AG) G'den D'ye olan uzaklığın (GD) iki katı olmasını sağlar. Matematiksel olarak:
$|AG| = 2 \times |GD|$
Bu durumda, AD kenarortayının tamamı 3 birim olarak düşünülürse, AG kısmı 2 birim, GD kısmı 1 birimdir. Yani $|AG|$, $|AD|$'nin $ rac{2}{3}$'ü kadardır:
$|AG| = rac{2}{3} \times |AD|$
$|AG| = rac{2}{3} \times 5$
$|AG| = rac{10}{3}$ cm.
Bu adımları takip ederek $|AG|$ uzunluğunu $ rac{10}{3}$ cm olarak bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
