10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler Test 2

ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AD] kenarortaydır. |AG| = 4 cm olduğuna göre, |GD| kaç cm'dir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6

Bu soruda bir üçgenin ağırlık merkezi ve kenarortayı ile ilgili temel bir özelliği kullanacağız. Haydi adım adım çözelim:

• Soruyu Anlayalım:

  Bize bir ABC üçgeni verilmiş. G noktası bu üçgenin ağırlık merkezi olarak belirtilmiş. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır.

  [AD] ise bir kenarortaydır. Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Yani D noktası, [BC] kenarının orta noktasıdır.

  Verilen bilgi: $|AG| = 4$ cm.

  Bizden istenen: $|GD|$ uzunluğunu bulmak.

• Temel Kuralı Hatırlayalım:

  Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Bu, çok önemli bir kuraldır ve birçok geometri probleminde karşımıza çıkar.

  Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığın iki katıdır.

  Bu kuralı bizim üçgenimizdeki [AD] kenarortayı ve G ağırlık merkezi için uygulayalım:

  A köşesinden G'ye olan uzaklık ($|AG|$), G'den D noktasına olan uzaklığın ($|GD|$) iki katıdır.

  Matematiksel olarak bu ilişkiyi şöyle ifade edebiliriz: $|AG| = 2 \times |GD|$

• Verilenleri Yerine Koyalım:

  Soruda bize $|AG| = 4$ cm olarak verilmişti. Bu değeri yukarıdaki formülümüzde yerine yazalım:

  $4 = 2 \times |GD|$

• Denklemi Çözelim:

  $|GD|$'yi bulmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:

  $|GD| = \frac{4}{2}$

  $|GD| = 2$ cm

Buna göre, $|GD|$ uzunluğu $2$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.