Merhaba arkadaşlar, bu trigonometri sorusunu adım adım çözelim. Üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu unutmayalım. Bu bize çok yardımcı olacak.
- Adım 1: Öncelikle $cosA$ ve $cosB$ değerlerini bulalım. Çünkü $sinC$'yi bulmak için $sin(A+B)$'yi hesaplamamız gerekecek.
- Adım 2: $sin^2A + cos^2A = 1$ özdeşliğini kullanarak $cosA$'yı bulalım:
- $cos^2A = 1 - sin^2A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
- $cosA = \pm \frac{4}{5}$. A açısı bir üçgenin açısı olduğundan 0 ile 180 derece arasında olmalı. Bu aralıkta sinüs pozitif olduğundan, kosinüs de pozitif olabilir. Ancak soruda aksi belirtilmediği için dar açı olduğunu varsayarak pozitif değeri alalım: $cosA = \frac{4}{5}$
- Adım 3: Aynı şekilde $cosB$'yi bulalım:
- $cos^2B = 1 - sin^2B = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
- $cosB = \pm \frac{12}{13}$. Yine B açısının da dar açı olduğunu varsayarak pozitif değeri alalım: $cosB = \frac{12}{13}$
- Adım 4: Şimdi $sinC$'yi bulmak için $sin(A+B)$ formülünü kullanalım. Çünkü $C = 180 - (A+B)$ ve $sin(180 - x) = sin(x)$ olduğundan $sinC = sin(A+B)$'dir.
- $sin(A+B) = sinA \cdot cosB + cosA \cdot sinB$
- $sin(A+B) = (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{13})$
- $sin(A+B) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$
- Adım 5: Sonuç olarak $sinC = sin(A+B) = \frac{56}{65}$
Gördüğünüz gibi, trigonometri formüllerini ve üçgenin iç açılarının toplamını kullanarak sonuca ulaştık.
Cevap C seçeneğidir
