Soru:
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, \( \sin{\alpha} = \frac{1}{3} \) ise, \( \cos{\alpha} \) ve \( \tan{\alpha} \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir dik üçgende sinüs değeri verildiğinde, temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak diğer oranları bulabiliriz.
- ➡️ Sinüs, karşı kenarın hipotenüse oranıdır. O halde karşı kenar = 1k, hipotenüs = 3k diyebiliriz (k bir pozitif sabit).
- ➡️ Komşu kenarı (x) Pisagor Teoremi ile bulalım: x² + (1k)² = (3k)² → x² + k² = 9k² → x² = 8k² → x = \( 2\sqrt{2}k \).
- ➡️ Kosinüs tanımı: Komşu kenar / Hipotenüs → \( \cos{\alpha} = \frac{2\sqrt{2}k}{3k} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
- ➡️ Tanjant tanımı: Karşı kenar / Komşu kenar → \( \tan{\alpha} = \frac{1k}{2\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \). Paydayı rasyonel yaparsak: \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).
✅ Sonuç olarak; \( \cos{\alpha} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) ve \( \tan{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).
