Soru:
Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz:
\( \sin^{2}{x} \cdot \tan^{2}{x} + \cos^{2}{x} \cdot \cot^{2}{x} + 2\sin{x}\cos{x} \)
Çözüm:
💡 Bu soruda temel trigonometrik özdeşlikleri ve tanımları kullanarak ifadeyi sadeleştireceğiz.
- ➡️ İlk olarak, \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \) ve \( \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \) yazalım.
- ➡️ İfade şu hale gelir: \( \sin^{2}{x} \cdot (\frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}) + \cos^{2}{x} \cdot (\frac{\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}}) + 2\sin{x}\cos{x} \).
- ➡️ Bu da \( \frac{\sin^{4}{x}}{\cos^{2}{x}} + \frac{\cos^{4}{x}}{\sin^{2}{x}} + 2\sin{x}\cos{x} \) demektir.
- ➡️ Şimdi paydaları eşitleyelim. Ortak payda \( \sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \) olur.
İfade = \( \frac{\sin^{6}{x} + \cos^{6}{x} + 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ Paydaki ifade bir küp toplamı özdeşliğini hatırlatır: a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = (a+b)³. Ancak bizim payımız a³+b³+2a²b² değildir. Daha farklı bir yol izleyelim.
Pay = \( (\sin^{2}{x})^3 + (\cos^{2}{x})^3 + 2(\sin^{2}{x})(\cos^{2}{x}) \) şeklinde yazılabilir. Bu, a³ + b³ + 2ab formundadır. Bu doğrudan bir özdeşlik değil. En güvenli yol, \( \sin^{6}{x} + \cos^{6}{x} \) ifadesini açmaktır.
\( \sin^{6}{x} + \cos^{6}{x} = (\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})(\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x}\cos^{2}{x} + \cos^{4}{x}) \)
= \( 1 \cdot [ (\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})^2 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} ] \)
= \( 1 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \).
- ➡️ Şimdi payı yerine koyalım:
Pay = \( (1 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}) + 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x} \) değil, dikkat! Payda \( 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x} \) var, biz \( 2\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \)'i kullanmıştık. Bu bir hata. En başa dönüp daha basit bir yol deneyelim.
- ➡️ En Basit Yol: İlk ifadeyi şöyle düzenleyelim:
\( \sin^{2}{x}\tan^{2}{x} = \sin^{2}{x} \cdot \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} = \frac{\sin^{4}{x}}{\cos^{2}{x}} \)
\( \cos^{2}{x}\cot^{2}{x} = \cos^{2}{x} \cdot \frac{\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}} = \frac{\cos^{4}{x}}{\sin^{2}{x}} \)
Bu iki terimin toplamının paydasını eşitleyelim (Ortak payda: \( \sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \)):
\( \frac{\sin^{4}{x}}{\cos^{2}{x}} + \frac{\cos^{4}{x}}{\sin^{2}{x}} = \frac{\sin^{6}{x} + \cos^{6}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ \( \sin^{6}{x} + \cos^{6}{x} = (\sin^{2}{x})^3 + (\cos^{2}{x})^3 = (\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})(\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x}\cos^{2}{x} + \cos^{4}{x}) \)
= \( 1 \cdot [ (\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})^2 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} ] \)
= \( 1 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \).
- ➡️ O halde ilk iki terimin toplamı: \( \frac{1 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ Şimdi bununla son terimi (\( 2\sin{x}\cos{x} \)) toplayalım. Son terimi paydayı \( \sin^{2}{x}\cos^{2}{x} \) yapmak için genişletelim: \( 2\sin{x}\cos{x} = \frac{2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ Tüm ifade şöyle olur:
\( \frac{1 - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} + 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ Paydaki ifadeyi \( 1 - 3a + 2a\sqrt{a} \) gibi karmaşık görünüyor. Ancak dikkatli bakarsak, pay \( (1 - \sin^{2}{x}\cos^{2}{x})^2 \) olabilir mi? Deneyelim: \( (1 - \sin^{2}{x}\cos^{2}{x})^2 = 1 - 2\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} + \sin^{4}{x}\cos^{4}{x} \). Bu bizim payımıza eşit değil. Daha akıllıca bir yol: İfadeyi \( (\sin{x}\tan{x} + \cos{x}\cot{x})^2 \) olarak görmek!
\( (\sin{x}\tan{x} + \cos{x}\cot{x})^2 = (\frac{\sin^{2}{x}}{\cos{x}} + \frac{\cos^{2}{x}}{\sin{x}})^2 \)
= \( (\frac{\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x}}{\sin{x}\cos{x}})^2 \)
= \( \frac{ (\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x})^2 }{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \)
= \( \frac{ \sin^{6}{x} + 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x} + \cos^{6}{x} }{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \).
- ➡️ Görüldüğü gibi, bu bizim tüm ifademizin tam karşılığıdır! Yani verilen ifade \( (\sin{x}\tan{x} + \cos{x}\cot{x})^2 \)'ye eşittir.
- ➡️ Peki bu daha sade mi? Hayır, ama artık değerini bulabiliriz. \( \sin{x}\tan{x} + \cos{x}\cot{x} = \frac{\sin^{2}{x}}{\cos{x}} + \frac{\cos^{2}{x}}{\sin{x}} = \frac{\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x}}{\sin{x}\cos{x}} \).
\( \sin^{3}{x} + \cos^{3}{x} = (\sin{x} + \cos{x})(1 - \sin{x}\cos{x}) \). Bu da pek sade değil. En sade hali, ifadenin kendisidir. Ancak soru "en sade halini bulunuz" dediği için, ifadenin \( (\frac{\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x}}{\sin{x}\cos{x}})^2 \) veya \( \frac{1 + 2\sin^{3}{x}\cos^{3}{x} - 3\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \) şeklinde bırakılması uygun olur. Fakat genellikle bu tarif sorularda beklenen, bir sabit sayı veya bilinen bir fonksiyondur. Bu ifade daha fazla sadeleşmez. Bu nedenle cevabı bulduğumuz son kapalı hallerden biriyle verebiliriz.
✅ Sonuç olarak; ifadenin en sade hali \( \frac{ (\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x})^2 }{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}} \) veya \( (\frac{\sin^{3}{x} + \cos^{3}{x}}{\sin{x}\cos{x}})^2 \) şeklindedir.
