Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, geniş açılı bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri kullanarak diğer iki kenarın uzunlukları toplamının en az kaç olabileceğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Geniş Açılı Üçgenin Özelliğini Hatırlayalım:
- Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı geniş açı ise, bu üçgene geniş açılı üçgen denir.
- Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ise ve $c$ kenarı geniş açının karşısındaki kenar ise, Pisagor Teoremi'nin geniş açılı üçgenler için uyarlanmış hali şöyledir: $c^2 > a^2 + b^2$.
- Soruda bize geniş açının karşısındaki kenarın uzunluğu $15$ cm olarak verilmiş. O halde, $c = 15$ cm'dir.
- Bu durumda, geniş açılı üçgen özelliğini kullanarak $15^2 > a^2 + b^2$ yazabiliriz.
- Yani, $225 > a^2 + b^2$ olmalıdır.
- 2. Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım:
- Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
- Bizim üçgenimizde kenarlar $a$, $b$ ve $15$ olduğuna göre, şu eşitsizlikler geçerlidir:
- $a + b > 15$
- $a + 15 > b$
- $b + 15 > a$
- Bizden $a+b$ toplamının en az kaç olabileceği isteniyor. İlk eşitsizlik olan $a+b > 15$ bize $a+b$ toplamının $15$'ten büyük olması gerektiğini söylüyor.
- 3. $a+b$ Toplamının Minimum Değerini Bulalım:
- $a+b > 15$ eşitsizliğine göre, $a+b$ toplamı $15$'ten büyük olmalıdır. Kenar uzunlukları pozitif sayılar olduğu için, $a+b$ toplamının alabileceği en küçük tam sayı değeri $16$ olabilir.
- Şimdi, $a+b=16$ değerinin geniş açılı üçgen koşulunu ($225 > a^2 + b^2$) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmemiz gerekiyor.
- $a+b=16$ iken, $a^2+b^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulmaya çalışalım. $a^2+b^2$ ifadesi, $a+b$ sabitken $a$ ve $b$ birbirine en yakın olduğunda en küçük değerini alır.
- Eğer $a=b$ olsaydı, $a+b=16 \Rightarrow a=8$ ve $b=8$ olurdu.
- Bu durumda $a^2+b^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$ olurdu.
- Şimdi bu değeri geniş açılı üçgen koşulu ile karşılaştıralım: $225 > 128$. Bu eşitsizlik doğrudur!
- Yani, kenarları $8$ cm, $8$ cm ve $15$ cm olan bir üçgen, hem üçgen eşitsizliğini ($8+8 > 15 \Rightarrow 16 > 15$) sağlar hem de geniş açılı üçgen koşulunu ($15^2 > 8^2+8^2 \Rightarrow 225 > 128$) sağlar.
- Bu durumda, $a+b=16$ değeri mümkündür.
- 4. Sonuç:
- $a+b$ toplamının $15$'ten büyük olması gerektiğini ve $16$ değerinin tüm koşulları sağladığını bulduk. Bu nedenle, diğer iki kenarın uzunlukları toplamı en az $16$ cm olabilir.
Cevap B seçeneğidir.
