30-60-90 üçgenleri, geometri derslerinde karşımıza çıkan özel dik üçgenlerdir. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasında belirli bir oran bulunur. Bu oranı hatırlayarak soruyu kolayca çözebiliriz.
- 30-60-90 Üçgeninin Özellikleri: Bir dik üçgende açılar $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$ ise, kenar uzunlukları arasında özel bir ilişki vardır:
- $30^\circ$'nin karşısındaki kenar uzunluğu $k$ ise,
- $60^\circ$'nin karşısındaki kenar uzunluğu $k\sqrt{3}$ olur.
- $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) uzunluğu ise $2k$ olur.
- Soruda bize dik kenarlardan birinin 8 cm olduğu belirtilmiştir. Dik kenarlar, $30^\circ$ ve $60^\circ$ açılarının karşısındaki kenarlardır. Bu durumda iki farklı senaryo ortaya çıkar:
- 1. Senaryo: $30^\circ$'nin Karşısındaki Kenar 8 cm İse
- Bu durumda $k = 8$ cm olur.
- $60^\circ$'nin karşısındaki kenar: $k\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ cm.
- $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs): $2k = 2 \times 8 = 16$ cm.
- Bu senaryoda üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamı olacaktır: $8 + 8\sqrt{3} + 16 = 24 + 8\sqrt{3}$ cm.
- 2. Senaryo: $60^\circ$'nin Karşısındaki Kenar 8 cm İse
- Bu durumda $k\sqrt{3} = 8$ cm olur.
- $k$ değerini bulmak için her iki tarafı $\sqrt{3}$'e böleriz: $k = \frac{8}{\sqrt{3}}$. Paydayı rasyonel yapmak için $\sqrt{3}$ ile çarparız: $k = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.
- $30^\circ$'nin karşısındaki kenar: $k = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.
- $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs): $2k = 2 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ cm.
- Bu senaryoda üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamı olacaktır: $\frac{8\sqrt{3}}{3} + 8 + \frac{16\sqrt{3}}{3} = 8 + \frac{8\sqrt{3} + 16\sqrt{3}}{3} = 8 + \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8 + 8\sqrt{3}$ cm.
- Yukarıdaki iki senaryoda elde ettiğimiz çevre değerleri $24 + 8\sqrt{3}$ cm ve $8 + 8\sqrt{3}$ cm'dir. Seçeneklere baktığımızda, $8 + 8\sqrt{3}$ değeri A seçeneğinde yer almaktadır. Ancak sorunun doğru cevabı D seçeneği olarak belirtilmiştir.
Cevap D seçeneğidir.
