Birim çember üzerinde \( \frac{5\pi}{4} \) radyanlık açının bitim kenarının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
B) \( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
C) \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
D) \( \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) \)
Birim çember üzerinde bir açının bitim kenarının koordinatlarını bulmak için kosinüs ve sinüs fonksiyonlarını kullanırız. Birim çemberde bir $ \theta $ açısının bitim kenarının koordinatları $ (\cos\theta, \sin\theta) $ şeklindedir. Şimdi $ \frac{5\pi}{4} $ radyanlık açı için bu koordinatları adım adım bulalım:
- Açıyı Dereceye Çevirme (İsteğe Bağlı Ama Anlamayı Kolaylaştırır): Radyan cinsinden verilen açıyı dereceye çevirmek, açının birim çember üzerindeki yerini görselleştirmemize yardımcı olabilir. $ \pi $ radyan $ 180^\circ $ olduğu için, $ \frac{5\pi}{4} = \frac{5 \times 180^\circ}{4} = 5 \times 45^\circ = 225^\circ $ olur.
- Açının Hangi Bölgede Olduğunu Belirleme: $ 225^\circ $ açısı $ 180^\circ $ ile $ 270^\circ $ arasındadır. Bu da açının üçüncü bölgede olduğunu gösterir.
- Üçüncü Bölgedeki İşaretleri Hatırlama: Birim çemberin üçüncü bölgesinde hem x koordinatı (kosinüs değeri) hem de y koordinatı (sinüs değeri) negatiftir. Bu bilgi, yanlış seçenekleri elememize yardımcı olur.
- Referans Açısını Bulma: Referans açısı, açının x ekseniyle yaptığı dar açıdır. Üçüncü bölgedeki bir açı için referans açısı, açının $ 180^\circ $ (veya $ \pi $ radyan) üzerine ne kadar çıktığıdır. Bu durumda referans açımız $ 225^\circ - 180^\circ = 45^\circ $ veya radyan cinsinden $ \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} $ olur.
- Referans Açının Kosinüs ve Sinüs Değerlerini Bulma: Referans açımız olan $ 45^\circ $ ($ \frac{\pi}{4} $ radyan) için kosinüs ve sinüs değerleri şunlardır: $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ ve $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Asıl Açının Koordinatlarını Belirleme: Üçüncü bölgede hem kosinüs hem de sinüs değerleri negatif olduğu için, referans açı değerlerine negatif işaret ekleriz. Böylece, $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ ve $ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ olur.
- Koordinatları Yazma: Bitim kenarının koordinatları $ (\cos\theta, \sin\theta) $ olduğundan, $ \frac{5\pi}{4} $ radyanlık açının bitim kenarının koordinatları $ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ olur.
Bu koordinatlar seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
