Bir dikdörtgenin çevresi 24 cm'dir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olduğuna göre, aşağıdaki alan değerlerinden hangisi bu dikdörtgen için mümkün değildir?
A) 11 cm²Bir dikdörtgenin çevresi ve alanı arasındaki ilişkiyi kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.
Bir dikdörtgenin kısa kenarına $k$ ve uzun kenarına $u$ dersek, çevresi $2 \times (k + u)$ formülüyle bulunur. Soru bize çevrenin 24 cm olduğunu söylüyor. Bu durumda:
$2 \times (k + u) = 24$
Yukarıdaki denklemi çözerek kenar uzunluklarının toplamını bulabiliriz:
$k + u = \frac{24}{2}$
$k + u = 12 \text{ cm}$
Bu, kısa kenar ile uzun kenarın toplamının 12 cm olması gerektiği anlamına gelir.
Soruda kenar uzunluklarının santimetre cinsinden tam sayı olduğu belirtilmiştir. Toplamları 12 eden tüm pozitif tam sayı çiftlerini (kısa kenarı $k$, uzun kenarı $u$ olmak üzere $k \le u$ koşuluyla) listeleyelim:
Olası kenar çiftleri şunlardır:
Kısa kenar 1 cm ise, uzun kenar 11 cm ($1+11=12$).
Kısa kenar 2 cm ise, uzun kenar 10 cm ($2+10=12$).
Kısa kenar 3 cm ise, uzun kenar 9 cm ($3+9=12$).
Kısa kenar 4 cm ise, uzun kenar 8 cm ($4+8=12$).
Kısa kenar 5 cm ise, uzun kenar 7 cm ($5+7=12$).
Kısa kenar 6 cm ise, uzun kenar 6 cm ($6+6=12$). (Bu bir karedir, kare de özel bir dikdörtgen türüdür.)
Dikdörtgenin alanı $k \times u$ formülüyle bulunur. Her bir olası kenar çifti için alanı hesaplayalım:
Kenarlar 1 cm ve 11 cm ise: Alan = $1 \times 11 = 11 \text{ cm}^2$
Kenarlar 2 cm ve 10 cm ise: Alan = $2 \times 10 = 20 \text{ cm}^2$
Kenarlar 3 cm ve 9 cm ise: Alan = $3 \times 9 = 27 \text{ cm}^2$
Kenarlar 4 cm ve 8 cm ise: Alan = $4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2$
Kenarlar 5 cm ve 7 cm ise: Alan = $5 \times 7 = 35 \text{ cm}^2$
Kenarlar 6 cm ve 6 cm ise: Alan = $6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2$
Bu durumda, çevresi 24 cm olan ve kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin alabileceği olası alan değerleri şunlardır: 11 cm², 20 cm², 27 cm², 32 cm², 35 cm², 36 cm².
Şimdi soruda verilen alan seçeneklerini, bulduğumuz olası alan değerleri ile karşılaştıralım:
A) 11 cm²: Olası alan değerlerimiz arasında bulunmaktadır (kenarlar 1 cm ve 11 cm).
B) 20 cm²: Olası alan değerlerimiz arasında bulunmaktadır (kenarlar 2 cm ve 10 cm).
C) 27 cm²: Olası alan değerlerimiz arasında bulunmaktadır (kenarlar 3 cm ve 9 cm).
D) 32 cm²: Olası alan değerlerimiz arasında bulunmaktadır (kenarlar 4 cm ve 8 cm).
Yukarıdaki hesaplamalarımıza göre, verilen seçeneklerdeki tüm alan değerleri mümkün görünmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
