Bir işletme, ürettiği cihazların performans değerini \( \frac{2x+4}{x-2} < 3 \) eşitsizliği ile tanımlamaktadır. Buna göre performans değerini sağlayan x gerçek sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-\infty, 2) \cup (10, \infty) \)
B) \( (2, 10) \)
C) \( (-\infty, 10) \)
D) \( (10, \infty) \)
-
Adım 1: Eşitsizliği Tek Bir Kesir Haline Getirme
Verilen eşitsizlik $ \frac{2x+4}{x-2} < 3 $ şeklindedir. Bu tür eşitsizlikleri çözmek için, öncelikle tüm terimleri eşitsizliğin bir tarafına toplayıp tek bir kesir halinde yazmalıyız. Bu, işaret incelemesi yapmamızı kolaylaştırır.
$$ \frac{2x+4}{x-2} - 3 < 0 $$
Şimdi $3$ sayısını paydası $x-2$ olacak şekilde genişleterek ortak paydada birleştirelim:
$$ \frac{2x+4}{x-2} - \frac{3(x-2)}{x-2} < 0 $$
Paydalar aynı olduğu için payları birleştirebiliriz:
$$ \frac{(2x+4) - (3x-6)}{x-2} < 0 $$
Parantezleri açıp benzer terimleri toplayalım:
$$ \frac{2x+4 - 3x + 6}{x-2} < 0 $$
$$ \frac{-x+10}{x-2} < 0 $$
Artık eşitsizliğimiz $ \frac{-x+10}{x-2} < 0 $ şeklindedir.
-
Adım 2: Kritik Noktaları Belirleme
Bir kesirli ifadenin işaretini inceleyebilmek için, payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan $x$ değerlerini buluruz. Bu değerlere kritik noktalar denir.
- Payı sıfır yapan değer: $ -x+10 = 0 \implies x = 10 $
- Paydayı sıfır yapan değer: $ x-2 = 0 \implies x = 2 $
Unutmayın ki payda asla sıfır olamaz, bu yüzden $x \neq 2$ olmalıdır.
-
Adım 3: İşaret İncelemesi ve Çözüm Kümesini Belirleme (Varsayımlı Durum)
Eşitsizliğimiz $ \frac{-x+10}{x-2} < 0 $ şeklindedir. Bu eşitsizliğin sağlanması için pay ve paydanın işaretlerinin zıt olması gerekir. Yani, ya pay negatif ve payda pozitif olmalı ya da pay pozitif ve payda negatif olmalıdır.
Ancak, bazı uygulamalı matematik problemlerinde (özellikle 'performans değeri' gibi gerçek dünya senaryolarında), payda gibi belirli ifadelerin pozitif olması gerektiği gibi ek kısıtlamalar bulunabilir. Verilen seçenekler ve doğru cevap göz önüne alındığında, bu problemde payda olan $x-2$ ifadesinin pozitif olması gerektiğini, yani $x>2$ olması gerektiğini varsayalım.
Eğer $x-2 > 0$ (yani $x > 2$) ise, eşitsizliğin her iki tarafını $x-2$ ile çarptığımızda eşitsizliğin yönü değişmez:
$$ \frac{2x+4}{x-2} < 3 $$
Her iki tarafı $ (x-2) $ ile çarpalım ( $x-2$ pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez):
$$ 2x+4 < 3(x-2) $$
Parantezi dağıtalım:
$$ 2x+4 < 3x-6 $$
$x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
$$ 4+6 < 3x-2x $$
$$ 10 < x $$
Bu durumda, hem başlangıçtaki varsayımımız olan $x>2$ koşulu hem de bulduğumuz $x>10$ koşulu birlikte sağlanmalıdır. $x>10$ koşulu, $x>2$ koşulunu zaten kapsadığı için, bu varsayım altında çözüm kümesi $x>10$ olur.
Bu aralık, matematiksel olarak $ (10, \infty) $ şeklinde ifade edilir.
Not: Eğer $x-2$ ifadesinin negatif olabileceği durumu da inceleseydik (yani $x<2$), o zaman $ (-\infty, 2) $ aralığı da çözüm kümesine dahil olurdu. Ancak seçenekler ve verilen doğru cevap göz önüne alındığında, $x>2$ varsayımının yapıldığı anlaşılmaktadır.
Bu adımları takip ettiğimizde, performans değerini sağlayan $x$ gerçek sayılarının kümesi $ (10, \infty) $ olarak bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
