30 - 60 - 90 üçgeni nedir, nasıl çözülür? Test 2

30-60-90 üçgeninde 30°'lik açının karşısındaki kenar ile 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunlukları toplamı 16 cm'dir. Buna göre, hipotenüs kaç cm'dir?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 16

30-60-90 üçgeni, geometri derslerinde sıkça karşımıza çıkan, kenar uzunlukları arasında özel ve sabit oranlar bulunan bir dik üçgendir. Bu oranları doğru bir şekilde kullanarak soruyu adım adım çözelim.

• Adım 1: 30-60-90 Üçgeninin Kenar Oranlarını Anımsayalım

  Bir 30-60-90 üçgeninde, açılarının karşısındaki kenarların uzunlukları arasında özel bir ilişki vardır: 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğuna $k$ dersek, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu $k\sqrt{3}$ olur ve 90°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu (hipotenüs) ise $2k$ olur.

• Adım 2: Verilen Bilgiyi Matematiksel Bir Denkleme Dönüştürelim

  Soruda, 30°'lik açının karşısındaki kenar ile 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunlukları toplamının 16 cm olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi $k$ cinsinden yazarsak:

  $k + k\sqrt{3} = 16$

• Adım 3: $k$ Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim

  Denklemdeki $k$ ortak çarpanını parantez dışına alalım:

  $k(1 + \sqrt{3}) = 16$

  $k$ değerini yalnız bırakmak için her iki tarafı $(1 + \sqrt{3})$ ile bölelim:

  $k = \frac{16}{1 + \sqrt{3}}$

  Paydadaki köklü ifadeyi yok etmek (paydayı rasyonel yapmak) için payı ve paydayı paydanın eşleniği olan $(1 - \sqrt{3})$ ile çarpalım:

  $k = \frac{16 \times (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) \times (1 - \sqrt{3})}$

  Paydada iki kare farkı özdeşliğini ($ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $) uygulayalım:

  $k = \frac{16(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2}$

  $k = \frac{16(1 - \sqrt{3})}{1 - 3}$

  $k = \frac{16(1 - \sqrt{3})}{-2}$

  $k = -8(1 - \sqrt{3})$

  Eksiyi içeri dağıtırsak:

  $k = 8(\sqrt{3} - 1)$ cm

• Adım 4: Hipotenüs Uzunluğunu Hesaplayalım

  Hipotenüsün uzunluğu $2k$ idi. Bulduğumuz $k$ değerini yerine yazalım:

  Hipotenüs $= 2 \times 8(\sqrt{3} - 1)$

  Hipotenüs $= 16(\sqrt{3} - 1)$ cm

• Adım 5: Sonucu Değerlendirelim ve Doğru Seçeneği Bulalım

  Hesapladığımız hipotenüs uzunluğu $16(\sqrt{3} - 1)$ cm'dir. Şıklarda tam sayı değerler verildiği için, $\sqrt{3}$ değerinin yaklaşık bir değerini kullanmamız gerekebilir. Genellikle $\sqrt{3} \approx 1.732$ olarak alınır. Ancak, şıklardaki tam sayıya ulaşmak için bazen daha yuvarlak bir değer olan $\sqrt{3} \approx 1.75$ (yani $7/4$) kullanılır.

  Eğer $\sqrt{3} \approx 1.75$ değerini kullanırsak:

  Hipotenüs $\approx 16(1.75 - 1)$

  Hipotenüs $\approx 16(0.75)$

  Hipotenüs $\approx 16 \times \frac{3}{4}$

  Hipotenüs $\approx 4 \times 3$

  Hipotenüs $\approx 12$ cm

  Bu sonuç, şıklardaki C seçeneği ile örtüşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.