9. Sınıf iki terimin farkının karesi özdeşliği nedir? Test 2

Bir üçgenin çevresi (8x-6) cm'dir. Bu üçgen eşkenar üçgen olduğuna göre, bir kenarının uzunluğunun karesini veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( \frac{64x^2 - 96x + 36}{9} \)
B) \( \frac{16x^2 - 24x + 9}{9} \)
C) \( \frac{64x^2 - 36}{9} \)
D) \( \frac{16x^2 - 9}{9} \)

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim ve eşkenar üçgenin özelliklerini kullanalım.

• Eşkenar Üçgenin Özelliği: Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Eğer bir kenarının uzunluğuna $a$ dersek, diğer iki kenarı da $a$ uzunluğunda olacaktır.
• Çevre Hesabı: Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Eşkenar üçgen için çevre, $3a$ formülüyle bulunur.
• Verilen Bilgiyi Kullanma: Soruda üçgenin çevresi $(8x-6)$ cm olarak verilmiş. O zaman, $3a = 8x-6$ denklemini kurabiliriz.
• Bir Kenar Uzunluğunu Bulma: Eşitliğin her iki tarafını $3$'e bölerek bir kenarının uzunluğunu ($a$) bulalım: $$a = \frac{8x-6}{3}$$ Bu ifadeyi daha sade bir şekilde yazabiliriz: $$a = \frac{8x}{3} - \frac{6}{3} = \frac{8x}{3} - 2$$
• Bir Kenar Uzunluğunun Karesini Bulma: Soru bizden bir kenarının uzunluğunun karesini istiyor. Yani $a^2$ ifadesini bulmalıyız. $$a^2 = \left(\frac{8x-6}{3}\right)^2$$
• İfadeyi Açma: Kesirli bir ifadenin karesini alırken, hem payın hem de paydanın karesini alırız. Ayrıca, pay kısmında $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ özdeşliğini kullanacağız. $$a^2 = \frac{(8x-6)^2}{3^2}$$ Pay kısmını açalım: $(8x-6)^2 = (8x)^2 - 2(8x)(6) + 6^2$ $$a^2 = \frac{64x^2 - 96x + 36}{9}$$
• Sonucu Kontrol Etme: Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.