11. sınıf trigonometri soruları ve çözümleri Test 2

Bir ABC üçgeninde sinA = 3/5 ve sinB = 5/13 değerleri veriliyor. Buna göre sinC'nin değeri kaçtır?

A) 16/65
B) 33/65
C) 56/65
D) 63/65

Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Üçgenlerde trigonometri bilgimizi kullanarak sonuca ulaşacağız.

• Adım 1: Üçgenin İç Açıları Toplamı

Bir $ABC$ üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$ dir. Yani $A + B + C = 180^\circ$ olur. Buradan $C = 180^\circ - (A + B)$ eşitliğini elde ederiz.

• Adım 2: sinC'yi Bulma

Her iki tarafın sinüsünü alırsak: $sin(C) = sin(180^\circ - (A + B))$ olur. Trigonometri bilgilerimizden $sin(180^\circ - x) = sin(x)$ olduğunu biliyoruz. O halde $sin(C) = sin(A + B)$ olur.

• Adım 3: sin(A+B) Açılımı

$sin(A + B) = sinA \cdot cosB + cosA \cdot sinB$ formülünü kullanalım. Bize $sinA = \frac{3}{5}$ ve $sinB = \frac{5}{13}$ değerleri verilmiş. $cosA$ ve $cosB$'yi bulmamız gerekiyor.

• Adım 4: cosA ve cosB'yi Bulma

$sin^2A + cos^2A = 1$ ve $sin^2B + cos^2B = 1$ özdeşliklerini kullanalım.

• $cos^2A = 1 - sin^2A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Buradan $cosA = \frac{4}{5}$ (A açısı dar açı olduğu için cosA pozitiftir).
• $cos^2B = 1 - sin^2B = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$. Buradan $cosB = \frac{12}{13}$ (B açısı dar açı olduğu için cosB pozitiftir).
• Adım 5: sinC'yi Hesaplama

Şimdi $sin(C) = sinA \cdot cosB + cosA \cdot sinB$ formülünde değerleri yerine koyalım:

$sin(C) = (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$

Cevap C seçeneğidir.