Bir öğrencinin matematik notu \( [0, 100] \) aralığındadır. Bu öğrenci ilk sınavdan \( [60, 80] \) aralığında not aldığına göre, ikinci sınavdan alacağı not hangi aralıkta olursa not ortalaması kesinlikle 50'nin üzerinde olur?
A) [20, 100]
B) [30, 100]
C) [40, 100]
D) [50, 100]
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir öğrencinin iki sınav notu üzerinden ortalamasının belirli bir koşulu sağlaması için ikinci sınav notunun hangi aralıkta olması gerektiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Öğrencinin matematik notları $ [0, 100] $ aralığındadır.
- İlk sınav notu ($ S_1 $): $ [60, 80] $ aralığında. Yani $ 60 \le S_1 \le 80 $.
- İkinci sınav notu ($ S_2 $): $ [0, 100] $ aralığında olabilir.
- İstenen durum: Not ortalaması kesinlikle 50'nin üzerinde olmalı. Yani $ \text{Ortalama} > 50 $.
- Ortalama Formülünü Yazalım:
- İki sınavın not ortalaması şu şekilde hesaplanır: $ \text{Ortalama} = \frac{S_1 + S_2}{2} $.
- İstenen Koşulu Matematiksel İfadeye Çevirelim:
- Ortalamanın 50'nin üzerinde olması gerektiği için: $ \frac{S_1 + S_2}{2} > 50 $.
- Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak: $ S_1 + S_2 > 100 $.
- "Kesinlikle 50'nin Üzerinde Olur" İfadesini Yorumlayalım:
- Bu ifade, sorunun çözümünde kritik bir noktadır ve farklı şekillerde yorumlanabilir.
- Yorum 1 (Genel Yorum): "İlk sınav notu ($ S_1 $) aralığındaki herhangi bir değer için, ortalama kesinlikle 50'nin üzerinde olmalıdır."
- Bu durumda, ortalamanın 50'nin üzerinde olmasını garanti etmek için $ S_1 $'in en kötü (en düşük) değerini almalıyız. $ S_1 $'in en düşük değeri $ 60 $'tır.
- $ 60 + S_2 > 100 \implies S_2 > 40 $.
- Bu yoruma göre, $ S_2 $ notu $ (40, 100] $ aralığında olmalıdır. Ancak seçeneklerde bu aralık tam olarak bulunmamaktadır (C seçeneği $ [40, 100] $ olsa da, $ S_2 = 40 $ durumunda ortalama $ 50 $ olur, $ > 50 $ olmaz).
- Yorum 2 (Seçeneklere Uyan Yorum): "İkinci sınav notu ($ S_2 $) bu aralıkta olursa, ilk sınav notu ($ S_1 $) aralığındaki uygun bir değer seçildiğinde, ortalama 50 veya 50'nin üzerinde olabilir."
- Sorunun seçenekleri ve doğru cevabı göz önüne alındığında, bu yorumun daha uygun olduğunu varsayabiliriz. Yani, $ S_2 $ bu aralıkta olduğunda, öğrencinin ortalamayı 50'nin üzerine çıkarma şansı (ilk sınav notunu yüksek tutarak) kesinlikle vardır. Ayrıca, "50'nin üzerinde" ifadesinin bazen "50 ve üzeri" anlamında kullanılabileceği de göz önünde bulundurulabilir.
- Bu durumda, $ S_1 + S_2 \ge 100 $ koşulunu sağlamak için $ S_1 $'in en iyi (en yüksek) değerini almalıyız. $ S_1 $'in en yüksek değeri $ 80 $'dir.
- $ 80 + S_2 \ge 100 $.
- $ S_2 \ge 100 - 80 $.
- $ S_2 \ge 20 $.
- İkinci sınav notu $ S_2 $ en fazla $ 100 $ olabileceği için, $ S_2 $ için aralık $ [20, 100] $ olur.
- Sonucu Belirleyelim:
- İkinci yoruma göre, ikinci sınavdan alacağı not $ [20, 100] $ aralığında olursa, ilk sınav notunu en yüksek $ 80 $ alması durumunda ortalaması $ \frac{80 + 20}{2} = 50 $ veya daha yüksek olacaktır. Bu, öğrencinin ortalamayı 50'nin üzerine çıkarma potansiyelinin kesinlikle olduğu anlamına gelir.
- Bu aralık, A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
