\( A = (-3, 2] \) ve \( B = [0, 4) \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( A \cup B \) birleşim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-3, 4)
B) (-3, 4]
C) [-3, 4)
D) [-3, 4]
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı aralık kümesinin birleşimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Verilen Kümeleri Anlayalım
- Öncelikle, verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:
- $A = (-3, 2]$ kümesi, $-3$'ten büyük ve $2$'ye eşit veya $2$'den küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $-3 < x \le 2$ koşulunu sağlayan $x$ değerleridir. Burada $-3$ dahil değildir (açık aralık), $2$ ise dahildir (kapalı aralık).
- $B = [0, 4)$ kümesi ise, $0$'a eşit veya $0$'dan büyük ve $4$'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $0 \le x < 4$ koşulunu sağlayan $x$ değerleridir. Burada $0$ dahildir (kapalı aralık), $4$ ise dahil değildir (açık aralık).
- 2. Adım: Birleşim Kümesinin Tanımını Hatırlayalım
- İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanları içeren kümedir. Yani, $A$'da olan veya $B$'de olan (veya her ikisinde de olan) tüm sayıları bir araya getireceğiz.
- 3. Adım: Sayı Doğrusunda Görselleştirelim (İsteğe Bağlı Ama Çok Faydalı!)
- Sayı doğrusu üzerinde bu aralıkları hayal etmek veya çizmek, birleşimi bulmayı kolaylaştırır:
- $A$ kümesi, $-3$'ün hemen sağından başlayıp $2$'ye kadar uzanır ($-3$ boş daire, $2$ dolu daire).
- $B$ kümesi, $0$'dan başlayıp $4$'ün hemen soluna kadar uzanır ($0$ dolu daire, $4$ boş daire).
- 4. Adım: Birleşim Kümesinin Başlangıç Noktasını Bulalım
- $A \cup B$ kümesinin en küçük elemanı, $A$ ve $B$ kümelerinin başlangıç noktalarından en küçüğü olacaktır.
- $A$ kümesi $-3$'ten başlar (dahil değil).
- $B$ kümesi $0$'dan başlar (dahil).
- Bu iki başlangıç noktasından en küçüğü $-3$'tür. $-3$ hiçbir kümede dahil olmadığı için, birleşim kümesinin başlangıcı da dahil olmayacaktır. Yani $(-3$ ile başlayacağız.
- 5. Adım: Birleşim Kümesinin Bitiş Noktasını Bulalım
- $A \cup B$ kümesinin en büyük elemanı, $A$ ve $B$ kümelerinin bitiş noktalarından en büyüğü olacaktır.
- $A$ kümesi $2$'de biter (dahil).
- $B$ kümesi $4$'te biter (dahil değil).
- Bu iki bitiş noktasından en büyüğü $4$'tür. $4$ hiçbir kümede dahil olmadığı için, birleşim kümesinin bitişi de dahil olmayacaktır. Yani $4)$ ile bitireceğiz.
- 6. Adım: Birleşim Kümesini Yazalım
- Başlangıç noktamız $(-3$ ve bitiş noktamız $4)$ olduğuna göre, $A \cup B$ birleşim kümesi $(-3, 4)$ olacaktır. Bu aralık, $-3$'ten büyük ve $4$'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
