Bir koordinat düzleminde A(1, 4) ve B(3, 10) noktalarından geçen doğru ile C(0, 1) ve D(2, 7) noktalarından geçen doğrunun kesişim durumu nedir?
A) Paraleldirlerİki doğrunun kesişim durumunu belirlemek için öncelikle her bir doğrunun eğimini ve denklemini bulmamız gerekir. Ardından bu denklemleri karşılaştırarak kesişim durumlarını analiz edeceğiz.
İki noktadan geçen doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur. Burada $(x_1, y_1) = (1, 4)$ ve $(x_2, y_2) = (3, 10)$ alabiliriz.
A(1, 4) ve B(3, 10) noktaları için eğim $m_1 = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ olur.
Eğimi $m_1 = 3$ olan ve A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur. A(1, 4) noktasını kullanırsak:
$y - 4 = 3(x - 1)$
$y - 4 = 3x - 3$
$y = 3x + 1$. Bu, birinci doğrumuzun denklemidir.
Yine aynı eğim formülünü kullanarak C(0, 1) ve D(2, 7) noktaları için eğimi bulalım. Burada $(x_1, y_1) = (0, 1)$ ve $(x_2, y_2) = (2, 7)$ alabiliriz.
Eğim $m_2 = \frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3$ olur.
Eğimi $m_2 = 3$ olan ve C(0, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur. C(0, 1) noktasını kullanırsak:
$y - 1 = 3(x - 0)$
$y - 1 = 3x$
$y = 3x + 1$. Bu da ikinci doğrumuzun denklemidir.
Birinci doğrunun denklemi $y = 3x + 1$ olarak bulunmuştur.
İkinci doğrunun denklemi de $y = 3x + 1$ olarak bulunmuştur.
Gördüğümüz gibi, her iki doğrunun da eğimleri ($m_1 = 3$ ve $m_2 = 3$) ve y-kesenleri (y eksenini kestikleri nokta, $x=0$ iken $y=1$) tamamen aynıdır.
Eğimleri ve y-kesenleri aynı olan doğrular çakışık doğrulardır. Bu, iki doğrunun aslında aynı doğru olduğu ve üzerlerindeki tüm noktaların ortak olduğu anlamına gelir.
Cevap D seçeneğidir.
