Bir cisim belirli bir yükseklikten serbest bırakıldığında, son 1 saniyede 35 metre yol alıyor. Buna göre cismin bırakıldığı yükseklik kaç metredir? (g = 10 m/s²)
A) 45Bu problemi çözmek için, serbest düşme hareketinin temel denklemlerini kullanacağız. Cisim serbest bırakıldığı için ilk hızı sıfırdır ($v_0 = 0$). Yer çekimi ivmesi $g = 10 \text{ m/s}^2$ olarak verilmiştir. Problemin anahtarı, cismin son 1 saniyede aldığı yolu kullanarak toplam düşme süresini bulmaktır.
Serbest düşme hareketinde, cismin $t$ sürede aldığı yol (yükseklik) şu formülle bulunur:
$h = \frac{1}{2}gt^2$
Burada $h$ alınan yol, $g$ yer çekimi ivmesi ve $t$ geçen süredir.
Cismin toplam düşme süresi $t$ olsun. Bu durumda, cismin toplamda aldığı yol $H = \frac{1}{2}gt^2$ olacaktır.
Cismin son 1 saniyede 35 metre yol aldığı bilgisi bize verilmiş. Bu, cismin $t$ sürede aldığı yoldan, $(t-1)$ sürede aldığı yolu çıkarırsak 35 metre bulacağımız anlamına gelir.
Yani, $h_t - h_{t-1} = 35 \text{ m}$
Burada $h_t = \frac{1}{2}gt^2$ ve $h_{t-1} = \frac{1}{2}g(t-1)^2$ dir.
Verilen bilgiyi denklemlerimize yerleştirelim:
$\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 35$
Denklemi $\frac{1}{2}g$ parantezine alalım:
$\frac{1}{2}g [t^2 - (t-1)^2] = 35$
$g = 10 \text{ m/s}^2$ değerini yerine yazalım:
$\frac{1}{2}(10) [t^2 - (t^2 - 2t + 1)] = 35$
$5 [t^2 - t^2 + 2t - 1] = 35$
$5 [2t - 1] = 35$
Her iki tarafı 5'e bölelim:
$2t - 1 = \frac{35}{5}$
$2t - 1 = 7$
$2t = 7 + 1$
$2t = 8$
$t = \frac{8}{2}$
$t = 4 \text{ s}$
Buna göre, cismin toplam düşme süresi 4 saniyedir.
Toplam düşme süresini ($t = 4 \text{ s}$) bulduğumuza göre, cismin bırakıldığı toplam yüksekliği $H = \frac{1}{2}gt^2$ formülüyle hesaplayabiliriz:
$H = \frac{1}{2}(10)(4)^2$
$H = 5(16)$
$H = 80 \text{ m}$
Cismin bırakıldığı yükseklik 80 metredir.
Cevap C seçeneğidir.
