6. sınıf matematik ortak bölenler ve ortak katlar soru çözümü Test 2

Bir bahçede 36 gül, 54 lale ve 90 menekşe fideleri eşit sayıda ve karışık olmayacak şekilde sıralanacaktır. En az kaç sıra oluşturulur?

A) 10
B) 15
C) 18
D) 20

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde farklı türdeki çiçek fidelerini eşit sayıda ve karışık olmayacak şekilde sıralamamız isteniyor. Amacımız, en az sayıda sıra oluşturmak. En az sıra oluşturmak için her sıraya mümkün olan en fazla sayıda fide dikmemiz gerekir. İşte adım adım çözümümüz:

• Adım 1: Her sıraya kaç fide dikeceğimizi bulalım.

  Her sıraya eşit sayıda fide dikeceğimiz ve farklı türdeki fideleri karıştırmayacağımız için, bir sıradaki fide sayısı hem 36 (gül), hem 54 (lale) hem de 90 (menekşe) sayısını tam bölen bir sayı olmalıdır. En az sıra oluşturmak için ise bu ortak bölenlerin en büyüğünü bulmalıyız. Yani, 36, 54 ve 90 sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmalıyız.

  • Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
  • $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
  • $54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3$
  • $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$
  • EBOB'u bulmak için, tüm sayılarda ortak olan asal çarpanları en küçük üsleriyle çarparız:
  • Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür. $2$'nin en küçük üssü $2^1$ ve $3$'ün en küçük üssü $3^2$'dir.
  • EBOB$(36, 54, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
  • Demek ki, her sıraya $18$ fide dikeceğiz.
• Adım 2: Her çiçek türü için kaç sıra gerekeceğini hesaplayalım.

  Her sıraya $18$ fide dikeceğimize göre, her çiçek türü için ayrı ayrı kaç sıra gerekeceğini bulalım:

  • Güller için sıra sayısı: $36 \text{ gül} \div 18 \text{ fide/sıra} = 2 \text{ sıra}$
  • Laleler için sıra sayısı: $54 \text{ lale} \div 18 \text{ fide/sıra} = 3 \text{ sıra}$
  • Menekşeler için sıra sayısı: $90 \text{ menekşe} \div 18 \text{ fide/sıra} = 5 \text{ sıra}$
• Adım 3: Toplam sıra sayısını bulalım.

  Tüm çiçekler için gereken sıra sayılarını toplayarak toplam sıra sayısını buluruz:

  • Toplam sıra sayısı $= 2 \text{ (gül)} + 3 \text{ (lale)} + 5 \text{ (menekşe)} = 10 \text{ sıra}$

Buna göre, en az $10$ sıra oluşturulur.

Cevap A seçeneğidir.