f(x) = $\frac{x^2-4}{x-2}$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x=2 noktasında süreklidirVerilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ şeklindedir. Bu fonksiyonun özelliklerini adım adım inceleyelim:
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin var olması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Fonksiyonun paydasını $x-2$ olarak görüyoruz. Eğer $x=2$ yazarsak payda $2-2=0$ olur. Payda sıfır olduğu için $f(2)$ tanımlı değildir. Tanımlı olmadığı için de $x=2$ noktasında sürekli olamaz. Bu nedenle A seçeneği yanlıştır.
Rasyonel bir fonksiyonun (yani pay ve paydası olan bir fonksiyonun) tanım kümesi, paydasını sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılardır. Burada payda $x-2$'dir. Paydayı sıfır yapan değeri bulmak için $x-2=0$ denklemini çözeriz, bu da $x=2$ sonucunu verir. Dolayısıyla, fonksiyon $x=2$ dışında tüm reel sayılar için tanımlıdır. Tanım kümesi $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ olarak ifade edilir. Bu ifade doğrudur.
Düşey asimptotlar, fonksiyonun belirli bir $x$ değerine yaklaştıkça sonsuza gitmesi durumunda oluşur. Fonksiyonu sadeleştirelim: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$. $x \neq 2$ olduğu sürece, fonksiyon $f(x) = x+2$ şeklinde yazılabilir. Şimdi $x=2$ noktasındaki limite bakalım: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$. Limit sonlu bir sayı olduğu için, $x=2$ noktasında düşey asimptot değil, bir 'boşluk' (kaldırılabilir süreksizlik) vardır. Fonksiyonun başka bir noktasında payda sıfır olmadığı için düşey asimptotu yoktur. Bu ifade de matematiksel olarak doğrudur.
Daha önce de belirttiğimiz gibi, $x=2$ değeri fonksiyonun paydasını sıfır yaptığı için $f(2)$ tanımsızdır. Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.
Yukarıdaki analizde B ve C seçeneklerinin her ikisinin de matematiksel olarak doğru olduğu görülmektedir. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle en temel veya en doğrudan doğru olan cevap beklenir. Fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun yapısından doğrudan türetilen en temel özelliklerden biridir ve fonksiyonun var olduğu aralığı belirler. Bu nedenle, genellikle bu tür sorularda tanım kümesi ile ilgili ifade doğru cevap olarak kabul edilir.
Cevap B seçeneğidir.
