Soru:
\( g(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 6} \) fonksiyonunun;
- a) Tanım kümesini,
- b) Düşey asimptotlarını,
- c) Yatay asimptotunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Asimptotları bulmak için paydanın kökleri ve fonksiyonun limitleri incelenir.
- ➡️ Adım 1: Tanım Kümesi - Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - x - 6 = 0 \). Denklem çözülürse \( (x-3)(x+2) = 0 \), yani \( x = 3 \) ve \( x = -2 \). Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} \).
- ➡️ Adım 2: Düşey Asimptotlar - Paydanın köklerinde (ve payın kökü değilse) düşey asimptot vardır. Payı kontrol edelim: \( 2x^2 - 8 = 2(x^2-4) = 2(x-2)(x+2) \). \( x = -2 \) payın da kökü olduğu için burada sadeleşme olur. Sadece \( x = 3 \) noktasında payda sıfır, pay sıfır değil. Bu nedenle tek düşey asimptot \( x = 3 \) doğrusudur.
- ➡️ Adım 3: Yatay Asimptot - Pay ve paydanın dereceleri aynı (derece 2). Yatay asimptot, başkatsayıların oranıdır: \( \frac{2}{1} = 2 \). Yatay asimptot \( y = 2 \) doğrusudur.
✅ a) Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} \), b) Düşey asimptot: \( x = 3 \), c) Yatay asimptot: \( y = 2 \).
