Soru:
\( h(x) = \frac{3x^2 - 5}{x - 2} \) fonksiyonunun eğik asimptotunu bulunuz ve fonksiyonun \( x \to \infty \) iken davranışını yorumlayınız.
Çözüm:
🚀 Payın derecesi (2), paydanın derecesinden (1) büyük olduğunda fonksiyonun bir eğik asimptotu vardır. Eğik asimtotu bulmak için polinom bölmesi yapılır.
- ➡️ Polinom Bölmesi: \( (3x^2 + 0x - 5) \) ifadesini \( (x - 2) \)'ye bölelim.
- \( 3x^2 / x = 3x \)
- \( 3x \cdot (x-2) = 3x^2 - 6x \)
- Çıkart: \( (3x^2 + 0x - 5) - (3x^2 - 6x) = 6x - 5 \)
- \( 6x / x = 6 \)
- \( 6 \cdot (x-2) = 6x - 12 \)
- Çıkart: \( (6x - 5) - (6x - 12) = 7 \)
Bölüm: \( 3x + 6 \), Kalan: \( 7 \)
Yani, \( h(x) = 3x + 6 + \frac{7}{x-2} \)
- ➡️ Eğik Asimptot: \( x \to \pm \infty \) iken \( \frac{7}{x-2} \to 0 \) olur. Bu durumda fonksiyon \( y = 3x + 6 \) doğrusuna yaklaşır.
Eğik Asimptot: \( y = 3x + 6 \)
- ➡️ Davranış Yorumu: \( x \) çok büyük veya çok küçük değerler aldığında, fonksiyonun grafiği \( y = 3x + 6 \) doğrusuna çok yakın geçer. Ayrıca \( x=2 \) noktasında bir düşey asimptot vardır.
✅ Sonuç: Fonksiyonun eğik asimptotu \( y = 3x + 6 \)'dır. \( x \to \infty \) iken \( h(x) \approx 3x+6 \) olur.
