Soru:
\( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ve yerel ekstremum noktalarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir fonksiyonun artan/azalanlığını ve ekstremum noktalarını incelemek için birinci türevine bakarız.
- ➡️ Adım 1: Fonksiyonun Türevi - Fonksiyonu \( h(x) = x + \frac{1}{x} \) şeklinde yazabiliriz. Türevini alalım: \( h'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \).
- ➡️ Adım 2: Kritik Noktalar - Türevi sıfıra eşitleyelim: \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \) veya \( x = -1 \). Ayrıca \( x = 0 \) noktası tanım kümesinde olmadığı için kritik nokta değildir.
- ➡️ Adım 3: İşaret Tablosu ve Sonuç - \( h'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2} \) şeklinde yazıp işaret incelemesi yapalım:
\( (-\infty, -1) \): \( h'(x) > 0 \) → Artan
\( (-1, 0) \): \( h'(x) < 0 \) → Azalan
\( (0, 1) \): \( h'(x) < 0 \) → Azalan
\( (1, \infty) \): \( h'(x) > 0 \) → Artan
- ➡️ Adım 4: Yerel Ekstremumlar - \( x = -1 \) noktasında türev işareti (+) dan (-) ye değişir → Yerel Maksimum. \( h(-1) = -2 \).
\( x = 1 \) noktasında türev işareti (-) den (+) ya değişir → Yerel Minimum. \( h(1) = 2 \).
✅ Fonksiyon \( (-\infty, -1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 0) \) ve \( (0, 1) \) aralıklarında azalandır. Yerel maksimum noktası \( (-1, -2) \), yerel minimum noktası \( (1, 2) \)'tir.
