Soru:
\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz ve \( x = 2 \) noktasındaki limitini hesaplayarak süreksizlik durumunu inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bu bir rasyonel fonksiyondur. Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesine alınamaz.
- ➡️ Adım 1: Tanım Kümesi - Payda \( x - 2 = 0 \) olduğunda \( x = 2 \) tanımsızdır. Bu nedenle tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)'dir.
- ➡️ Adım 2: Sadeleştirme - Payı çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \). Fonksiyon \( f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \) olur. \( x \neq 2 \) için sadeleştirme yapabiliriz: \( f(x) = x + 2 \).
- ➡️ Adım 3: Limit ve Süreksizlik - \( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \). Limit var ve sonlu, ancak fonksiyon \( x=2 \)'de tanımsız. Bu bir kaldırılabilir süreksizliktir.
✅ Tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \), \( x=2 \) noktasında kaldırılabilir süreksizlik vardır ve limit 4'tür.
