Soru:
\( g(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 3x + 2} \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki nitelikleri belirleyiniz:
- Sadeleştirilmiş hali
- Tanım kümesi
- Kesme noktaları (Varsa)
- Asimptot denklemleri
Çözüm:
🧮 Önce pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapalım.
- ➡️ Sadeleştirme:
Pay: \( x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) \)
Payda: \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)
\( g(x) = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x-2)} \)
\( x \neq 2 \) koşuluyla sadeleştirirsek: \( g(x) = \frac{x+3}{x-1} \)
- ➡️ Tanım Kümesi: Orijinal paydaya bakarız: \( (x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x \neq 1 \) ve \( x \neq 2 \).
\( \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \)
- ➡️ Kesme Noktası: \( x=2 \) noktasında pay ve payda sıfır olur, bu bir çıkarılabilir süreksizlik noktasıdır (delik).
Sadeleşmiş fonksiyonda \( x=2 \) yazılarak kesme noktasının y değeri bulunur: \( y = \frac{2+3}{2-1} = 5 \).
Kesme Noktası: \( (2, 5) \)
- ➡️ Asimptotlar:
- Düşey Asimptot: Sadeleşmiş fonksiyonun paydasını sıfır yapan \( x=1 \) noktası.
- Yatay Asimptot: Sadeleşmiş fonksiyonda pay ve paydanın dereceleri eşit (1), katsayıların oranı \( \frac{1}{1} = 1 \). Yatay asimptot: \( y = 1 \)
✅ Sonuç: Sadeleşmiş hali \( \frac{x+3}{x-1} \), Tanım Kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \), Kesme Noktası \( (2, 5) \), Düşey Asimptot \( x=1 \), Yatay Asimptot \( y=1 \).
