Soru:
\( k(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} \) fonksiyonu veriliyor.
- Bu fonksiyonun tanım kümesi nedir?
- Fonksiyonun asimptotu var mıdır? Varsa denklemini bulunuz.
- Fonksiyonun \( x=0 \) ve \( x=1 \) noktalarındaki değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
🔍 Rasyonel fonksiyonlarda paydanın hiçbir zaman sıfır olmaması gerekir. Asimptotlar için pay ve paydanın derecelerini karşılaştıralım.
- ➡️ a) Tanım Kümesi: Payda \( x^2 + 1 \) ifadesidir. Tüm reel \( x \) değerleri için \( x^2 + 1 \geq 1 > 0 \) olduğundan payda asla sıfır olmaz.
Tanım Kümesi: Tüm reel sayılar \( (\mathbb{R}) \).
- ➡️ b) Asimptot İncelemesi:
- Düşey Asimptot: Paydanın kökü olmadığı için düşey asimptot yoktur.
- Yatay/Eğik Asimptot: Payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) büyüktür. Bu durumda bir eğik asimptot vardır. Polinom bölmesi yapalım:
\( (x^3 + 0x^2 - 2x + 0) \div (x^2 + 0x + 1) \)
- \( x^3 / x^2 = x \)
- \( x \cdot (x^2+1) = x^3 + x \)
- Çıkart: \( (x^3 - 2x) - (x^3 + x) = -3x \)
Bölüm: \( x \), Kalan: \( -3x \)
\( k(x) = x + \frac{-3x}{x^2+1} \)
\( x \to \pm \infty \) iken kesirli kısım sıfıra gider. Eğik Asimptot: \( y = x \)
- ➡️ c) Nokta Değerleri:
- \( k(0) = \frac{0^3 - 2\cdot0}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0 \)
- \( k(1) = \frac{1^3 - 2\cdot1}{1^2 + 1} = \frac{1 - 2}{1 + 1} = \frac{-1}{2} = -0.5 \)
✅ Sonuç: a) Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \), b) Eğik Asimptot: \( y = x \), c) \( k(0) = 0 \), \( k(1) = -0.5 \).
