Soru:
\( k(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun;
- a) Grafiğini x-eksenini ve y-eksenini kestiği noktaları,
- b) Simetrisini inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Grafik analizi için kesim noktaları ve fonksiyonun cift/tek olma durumu incelenir.
- ➡️ Adım 1: Eksenleri Kestiği Noktalar
x-ekseni: Fonksiyonun değeri sıfır olmalı (\( y=0 \)). Pay sıfır olmalı: \( x^2 = 0 \implies x = 0 \). Yani grafik x-eksenini \( (0, 0) \) noktasında keser.
y-ekseni: \( x=0 \) yazılır. \( k(0) = \frac{0}{0+1} = 0 \). Yani grafik y-eksenini de \( (0, 0) \) noktasında keser.
- ➡️ Adım 2: Simetri İncelemesi - Fonksiyonun çift veya tek olup olmadığını kontrol edelim. \( k(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2 + 1} = k(x) \).
- ➡️ Adım 3: Sonuç - \( k(-x) = k(x) \) olduğu için bu fonksiyon bir çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.
✅ a) Grafik hem x-eksenini hem de y-eksenini \( (0, 0) \) noktasında keser. b) Fonksiyon çift fonksiyondur, dolayısıyla grafiği y-eksenine göre simetriktir.
