Soru:
Aşağıdaki rasyonel fonksiyonun sadeleştirilmiş halini yazıp, süreksizlik noktasını (delik) belirleyiniz.
\( k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3} \)
Çözüm:
💡 Pay ve payda çarpanlarına ayrılıp ortak çarpanlar sadeleştirilebiliyorsa, bu ortak çarpanları sıfır yapan \( x \) değerlerinde fonksiyonun bir "delik"i (süreksizlik noktası) vardır.
- ➡️ 1. Adım: Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
- Pay: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
- Payda: \( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \)
- ➡️ 2. Adım: Fonksiyonu yeniden yazalım: \( k(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 3)(x - 1)} \)
- ➡️ 3. Adım: Ortak çarpan \( (x - 1) \) sadeleştirilir. Sadeleştirilmiş hal: \( k(x) = \frac{x + 1}{x + 3} \), burada \( x \neq 1 \) ve \( x \neq -3 \) olmalıdır.
- ➡️ 4. Adım: \( x = -3 \) paydayı sıfır yaptığı için düşey asimptottur. \( x = 1 \) değeri ise sadeleşen ortak çarpandan geldiği için bir süreksizlik noktası (delik) oluşturur.
- ➡️ 5. Adım: Deliğin koordinatını bulmak için \( x = 1 \) değerini sadeleştirilmiş fonksiyonda yerine koyarız: \( y = \frac{1 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
✅ Fonksiyonun sadeleştirilmiş hali \( k(x) = \frac{x+1}{x+3} \)'tür ve \( (1, \frac{1}{2}) \) noktasında bir delik vardır.
