Soru:
\( f(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun aşağıdaki nitel özelliklerini inceleyiniz:
- Tanım kümesi
- Düşey asimptotları
- Yatay asimptotu
Çözüm:
💡 Rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerini incelemek için paydayı sıfır yapan değerlere ve derecelere bakarız.
- ➡️ Tanım Kümesi: Paydayı sıfır yapan değerler: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \) ve \( x = 2 \). Bu değerler tanım kümesine alınamaz.
\( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)
- ➡️ Düşey Asimptotlar: Paydayı sıfır, payı sıfır yapmayan noktalarda düşey asimptot vardır.
\( x = -2 \) için pay: \( 2(-2)-4=-8 \neq 0 \).
\( x = 2 \) için pay: \( 2(2)-4=0 \). Burada pay ve payda sıfır olduğu için sadeleşme olur, düşey asimptot olmaz.
Tek düşey asimptot: \( x = -2 \)
- ➡️ Yatay Asimptot: Payın derecesi (1), paydanın derecesinden (2) küçük olduğu için yatay asimptot \( y = 0 \)'dır.
✅ Sonuç: Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \), Düşey Asimptot: \( x = -2 \), Yatay Asimptot: \( y = 0 \).
