9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol ve İşlemleri Nedir? Test 2

Bir şehirdeki otobüs seferleri, sabah 06:00'dan (dahil) akşam 22:00'ye (dahil) kadar devam etmektedir. Ancak, 12:00 (hariç) ile 13:00 (hariç) saatleri arasında öğle arası verilmektedir. Bu otobüslerin çalıştığı zaman aralığını gösteren küme aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[6, 22] \setminus (12, 13)$
B) $[6, 12] \cup [13, 22]$
C) $[6, 12) \cup (13, 22]$
D) $[6, 12) \cup [13, 22]$

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir otobüsün çalışma saatlerini küme gösterimiyle ifade etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım:

• 1. Toplam Çalışma Saatlerini Belirleyelim:

  Otobüs seferleri sabah 06:00'dan (dahil) akşam 22:00'ye (dahil) kadar devam etmektedir. "Dahil" kelimesi, bu saatlerin çalışma aralığına dahil olduğunu gösterir. Küme gösteriminde dahil olan noktalar köşeli parantez $[]$ ile ifade edilir. Bu durumda, otobüsün toplam çalışma aralığı:

  $[6, 22]$

  Yani, $6 \le \text{saat} \le 22$ anlamına gelir.

• 2. Öğle Arası Saatlerini Belirleyelim:

  12:00 (hariç) ile 13:00 (hariç) saatleri arasında öğle arası verilmektedir. "Hariç" kelimesi, bu saatlerin çalışma aralığına dahil olmadığını gösterir. Küme gösteriminde hariç olan noktalar normal parantez $()$ ile ifade edilir. Bu durumda, öğle arası aralığı:

  $(12, 13)$

  Yani, $12 < \text{saat} < 13$ anlamına gelir.

• 3. Çalışma Saatlerini Küme İşlemleriyle Gösterelim:

  Otobüsün çalıştığı zaman aralığı, toplam çalışma saatlerinden öğle arası saatlerinin çıkarılmasıyla bulunur. Küme teorisinde bu, fark işlemi ($\setminus$) ile gösterilir:

  $[6, 22] \setminus (12, 13)$

  Bu ifade, $6$ ile $22$ arasındaki tüm saatlerden, $12$ ile $13$ arasındaki (12 ve 13 hariç) saatlerin çıkarılması anlamına gelir.

• 4. Küme Fark İşlemini Uygulayalım ve Sonucu Sadeleştirelim:

  Eğer $[6, 22]$ aralığından $(12, 13)$ aralığını çıkarırsak, geriye kalan aralıklar şunlar olacaktır:

  • $6$'dan başlayıp $12$'ye kadar olan kısım. Öğle arası $12$'yi içermediği için, $12$ noktası çalışma aralığında kalır. Bu kısım: $[6, 12]$.
  • $13$'ten başlayıp $22$'ye kadar olan kısım. Öğle arası $13$'ü içermediği için, $13$ noktası çalışma aralığında kalır. Bu kısım: $[13, 22]$.

  Bu iki ayrı aralığın birleşimi (union) otobüsün çalıştığı toplam zaman aralığını verir. Birleşim işlemi $\cup$ ile gösterilir:

  $[6, 12] \cup [13, 22]$

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç olan $[6, 12] \cup [13, 22]$ ifadesi, seçeneklere baktığımızda B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.