Bir fabrikada üretilen ürünler 6'şarlı, 12'şerli ve 15'erli paketlenebilmektedir. En az kaç ürün olursa her üç şekilde de paketleme yapılabilir?
A) 30Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür sorular, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek paketleme veya gruplama problemlerini anlamamızı sağlar. Soruda bizden istenen, belirli sayılarda (6'şar, 12'şer ve 15'er) gruplandırılabilen en az ürün sayısını bulmaktır. Bu, matematikte En Küçük Ortak Kat (EKOK) bulma işlemidir.
Bir ürün sayısının hem 6'ya, hem 12'ye hem de 15'e tam bölünebilmesi gerekiyor. Ayrıca bu sayının mümkün olan en küçük sayı olması isteniyor. Bu durum, 6, 12 ve 15 sayılarının En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmamız gerektiğini gösterir. EKOK, verilen sayıların ortak katları arasında en küçük olanıdır.
EKOK'u bulmak için her sayının asal çarpanlarını ayırırız:
$6 = 2 \times 3$
$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
EKOK'u bulmak için, asal çarpanlara ayırdığımız sayılardaki tüm farklı asal çarpanları ve bu çarpanların en büyük üslerini alırız. Burada farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir. 2'nin en büyük üssü $2^2$ (12 sayısından gelir), 3'ün en büyük üssü $3^1$ (tüm sayılarda bulunur) ve 5'in en büyük üssü $5^1$ (15 sayısından gelir).
Bu çarpanları çarparak EKOK'u buluruz:
EKOK$(6, 12, 15) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
Bulduğumuz EKOK değeri 60'tır. Bu, en az 60 ürün olursa, bu ürünlerin her üç şekilde de paketlenebileceği anlamına gelir. Kontrol edelim:
60 ürün, 6'şarlı paketlendiğinde $60 \div 6 = 10$ paket olur.
60 ürün, 12'şerli paketlendiğinde $60 \div 12 = 5$ paket olur.
60 ürün, 15'erli paketlendiğinde $60 \div 15 = 4$ paket olur.
Gördüğümüz gibi, 60 sayısı her üç sayıya da tam bölünebilmektedir ve bu koşulu sağlayan en küçük sayıdır.
Bu nedenle, en az 60 ürün olursa her üç şekilde de paketleme yapılabilir.
Cevap B seçeneğidir.
