Düşey düzlemde çembersel hareket (İp gerilmesi) Test 2

Düşey düzlemde çembersel hareket yapan bir cisim için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) En üst noktada merkezcil kuvvet minimum değerini alır
B) En alt noktada ip gerilmesi maksimum değerini alır
C) Cismin mekanik enerjisi korunur
D) İp gerilmesi her noktada aynıdır

Sevgili öğrenciler, düşey düzlemde çembersel hareket yapan bir cisimle ilgili ifadeleri tek tek inceleyelim ve hangisinin yanlış olduğunu bulalım.

• A) En üst noktada merkezcil kuvvet minimum değerini alır
  • Düşey çembersel harekette cismin hızı sürekli değişir. Yerçekimi etkisiyle cisim yukarı çıkarken yavaşlar, aşağı inerken hızlanır.
  • Bu nedenle, cismin en üst noktadaki hızı ($v_{üst}$) en düşük, en alt noktadaki hızı ($v_{alt}$) ise en yüksek değerini alır.
  • Merkezcil kuvvetin formülü $F_m = m \frac{v^2}{r}$'dir. Kütle ($m$) ve yarıçap ($r$) sabit olduğuna göre, merkezcil kuvvet hızın karesiyle doğru orantılıdır.
  • Hızın en düşük olduğu en üst noktada merkezcil kuvvet de minimum değerini alır. Bu ifade doğrudur.
• B) En alt noktada ip gerilmesi maksimum değerini alır
  • İp gerilmesi ($T$) ile cismin ağırlığının ($mg$) bileşkesi merkezcil kuvveti sağlar.
  • En alt noktada, ip gerilmesi yukarı doğru, ağırlık aşağı doğrudur. Merkezcil kuvvet merkeze (yukarı) doğru olduğu için denge denklemi: $T_{alt} - mg = m \frac{v_{alt}^2}{r}$ şeklindedir. Buradan $T_{alt} = mg + m \frac{v_{alt}^2}{r}$ bulunur.
  • En üst noktada ise ip gerilmesi ve ağırlık aynı yönde (aşağı, merkeze doğru) etki eder. Denge denklemi: $T_{üst} + mg = m \frac{v_{üst}^2}{r}$ şeklindedir. Buradan $T_{üst} = m \frac{v_{üst}^2}{r} - mg$ bulunur.
  • En alt noktadaki hız ($v_{alt}$) en üst noktadaki hızdan ($v_{üst}$) daha büyük olduğu ve en alt noktadaki ip gerilmesi ifadesinde $mg$ terimi eklendiği için, ip gerilmesi en alt noktada maksimum değerini alır. Bu ifade doğrudur.
• C) Cismin mekanik enerjisi korunur
  • Düşey çembersel hareket yapan bir cisim için, sürtünme kuvvetleri ihmal edildiğinde ve ip gerilmesi gibi kuvvetler hareket doğrultusuna dik olduğu için iş yapmadığında, sadece yerçekimi kuvveti iş yapar.
  • Yerçekimi kuvveti korunumlu bir kuvvettir. Bu durumda, cismin kinetik enerjisi ile potansiyel enerjisinin toplamı olan mekanik enerjisi korunur. Yani, $E_{mekanik} = E_{kinetik} + E_{potansiyel} = \text{sabit}$. Bu ifade doğrudur.
• D) İp gerilmesi her noktada aynıdır
  • Yukarıdaki B seçeneği açıklamasında da gördüğümüz gibi, ip gerilmesi en alt noktada $T_{alt} = mg + m \frac{v_{alt}^2}{r}$ iken, en üst noktada $T_{üst} = m \frac{v_{üst}^2}{r} - mg$ şeklindedir.
  • Cismin hızı düşey çembersel hareket boyunca sürekli değiştiği için (en alt noktada maksimum, en üst noktada minimum), ip gerilmesi de sürekli değişir.
  • Bu nedenle, ip gerilmesi her noktada aynı değildir. Bu ifade yanlıştır.

Cevap D seçeneğidir.