Sevgili öğrenciler, bu soruda düşey düzlemde çembersel hareket yapan bir cismin en alt noktadaki hızını kullanarak en üst noktadaki ip gerilmesini bulacağız. Bu tür sorular, enerji korunumu ve dinamik prensiplerini birleştirmemizi gerektirir.
- Verilenler:
- Cismin kütlesi: $m$
- Yörünge yarıçapı: $r$
- En alt noktadaki hız: $v_{alt} = \sqrt{5gr}$
- İstenen: En üst noktadaki ip gerilmesi ($T_{üst}$) kaç $mg$'dir?
Öncelikle, cismin en alt noktadaki hızını kullanarak en üst noktadaki hızını bulmak için mekanik enerji korunumu prensibini uygulayalım. Daha sonra, en üst noktadaki ip gerilmesini bulmak için Newton'un ikinci yasasını (merkezcil kuvvet) kullanacağız.
- 1. Adım: Mekanik Enerji Korunumu
- Sürtünmelerin ihmal edildiği düşey düzlemde çembersel harekette, cismin mekanik enerjisi (kinetik enerji + potansiyel enerji) korunur.
- En alt noktayı potansiyel enerji için referans seviyesi ($h=0$) olarak alalım.
- En alt noktadaki mekanik enerji ($E_{alt}$):
- Kinetik enerji: $K_{alt} = \frac{1}{2}mv_{alt}^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{5gr})^2 = \frac{1}{2}m(5gr) = \frac{5}{2}mgr$
- Potansiyel enerji: $U_{alt} = mg(0) = 0$
- Toplam mekanik enerji: $E_{alt} = K_{alt} + U_{alt} = \frac{5}{2}mgr$
- En üst noktadaki mekanik enerji ($E_{üst}$):
- En üst noktada cisim, en alt noktadan $2r$ kadar yüksekliktedir. Yani $h_{üst} = 2r$.
- Kinetik enerji: $K_{üst} = \frac{1}{2}mv_{üst}^2$ (Burada $v_{üst}$ en üst noktadaki hızdır.)
- Potansiyel enerji: $U_{üst} = mg(2r) = 2mgr$
- Toplam mekanik enerji: $E_{üst} = K_{üst} + U_{üst} = \frac{1}{2}mv_{üst}^2 + 2mgr$
- Enerji Korunumu Prensibi: $E_{alt} = E_{üst}$
- $\frac{5}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_{üst}^2 + 2mgr$
- Denklemi $v_{üst}^2$ için düzenleyelim:
- $\frac{5}{2}mgr - 2mgr = \frac{1}{2}mv_{üst}^2$
- $\frac{5}{2}mgr - \frac{4}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_{üst}^2$
- $\frac{1}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_{üst}^2$
- Her iki taraftaki $\frac{1}{2}m$ terimlerini sadeleştirerek en üst noktadaki hızın karesini buluruz:
- $v_{üst}^2 = gr$
- 2. Adım: En Üst Noktadaki İp Gerilmesi (Dinamik Analiz)
- Cisim en üst noktadayken, üzerine etki eden kuvvetleri ve merkezcil kuvveti inceleyelim.
- En üst noktada cisme etki eden kuvvetler:
- Aşağı doğru yer çekimi kuvveti: $mg$
- Aşağı doğru ip gerilmesi: $T_{üst}$
- Çembersel hareket için gerekli olan merkezcil kuvvet, bu iki kuvvetin toplamıdır ve yörüngenin merkezine (aşağı doğru) yöneliktir.
- Newton'un İkinci Yasası (Merkezcil Kuvvet): $F_c = T_{üst} + mg = m\frac{v_{üst}^2}{r}$
- Şimdi $T_{üst}$'ü yalnız bırakalım:
- $T_{üst} = m\frac{v_{üst}^2}{r} - mg$
- 3. Adım: Değerleri Yerine Koyma ve Sonuç
- Bulduğumuz $v_{üst}^2 = gr$ değerini ip gerilmesi denklemine yerleştirelim:
- $T_{üst} = m\frac{(gr)}{r} - mg$
- $T_{üst} = mg - mg$
- $T_{üst} = 0$
Bu sonuç, cismin en üst noktada ip gerilmesinin sıfır olduğunu, yani cismin tam da o noktada ipin gerilmeden çembersel hareketi tamamladığını gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
