Bir sınıftaki öğrencilerin %80'i matematikten, %60'ı fizikten geçmiştir. Her iki dersten de kalan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten geçen öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %20
B) %30
C) %40
D) %50
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, kümeler konusunu ve yüzde hesaplamalarını birleştiren güzel bir soru. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl kolayca çözebileceğimizi görelim.
-
1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verileri Belirleyelim
Öncelikle bize verilen bilgileri netleştirelim:
- Sınıftaki öğrencilerin tamamı %100'dür.
- Matematikten geçen öğrenci oranı: %80
- Fizikten geçen öğrenci oranı: %60
- Çok önemli bir bilgi: Her iki dersten de kalan öğrenci yok. Bu ne anlama geliyor? Bu, sınıftaki her öğrencinin ya matematikten ya fizikten ya da her iki dersten de geçtiği anlamına gelir. Yani, en az bir dersten geçen öğrenci oranı %100'dür.
- Bizden istenen: Her iki dersten de geçen öğrencilerin yüzdesi.
-
2. Adım: Problemi Kümeler Mantığıyla Düşünelim
Bu tür problemler genellikle kümeler teorisi ile çözülür. İki kümemiz var: Matematikten geçenler kümesi (M) ve Fizikten geçenler kümesi (F).
- $P(M)$ = Matematikten geçenlerin yüzdesi = %80
- $P(F)$ = Fizikten geçenlerin yüzdesi = %60
- $P(M \cup F)$ = Matematik veya Fizik'ten (en az birinden) geçenlerin yüzdesi. Sorudaki "her iki dersten de kalan öğrenci olmadığına göre" ifadesi sayesinde bu değerin %100 olduğunu biliyoruz.
- $P(M \cap F)$ = Hem Matematik hem de Fizik'ten (yani her ikisinden de) geçenlerin yüzdesi. İşte bu bizim bulmamız gereken değer!
-
3. Adım: Kümeler Formülünü Kullanalım
İki kümenin birleşiminin yüzdesini bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır:
$P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$
Bu formül, Matematik'ten geçenlerle Fizik'ten geçenleri topladığımızda, her iki dersten geçenleri iki kez saydığımız için, bu fazlalığı bir kez çıkarmamız gerektiğini söyler.
-
4. Adım: Bilgileri Formülde Yerine Koyalım ve Çözelim
Şimdi bildiğimiz değerleri formüle yerleştirelim:
- %100 (en az bir dersten geçenler) = %80 (Matematik) + %60 (Fizik) - $P(M \cap F)$ (her iki dersten geçenler)
- %100 = %140 - $P(M \cap F)$
Şimdi $P(M \cap F)$ değerini bulmak için denklemi düzenleyelim:
- $P(M \cap F)$ = %140 - %100
- $P(M \cap F)$ = %40
-
5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim
Bulduğumuz sonuç mantıklı mı? Bakalım:
- Sadece Matematik'ten geçenler: %80 (Matematik) - %40 (Her ikisi) = %40
- Sadece Fizik'ten geçenler: %60 (Fizik) - %40 (Her ikisi) = %20
- Her iki dersten geçenler: %40
- Toplamda en az bir dersten geçenler: %40 (Sadece M) + %20 (Sadece F) + %40 (Her ikisi) = %100.
Evet, bu toplam %100'e eşit ve "her iki dersten de kalan öğrenci yok" şartını sağlıyor. Demek ki cevabımız doğru!
Her iki dersten geçen öğrencilerin yüzdesi %40'tır.
Cevap C seçeneğidir.
