8. f(x) = x² - 6x + 8 fonksiyonu veriliyor. f(x) > 0 eşitsizliğini sağlayan en geniş x aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 2) ∪ (4, ∞)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir parabolün (ikinci dereceden fonksiyonun) hangi $x$ değerleri için pozitif olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlik sorularını nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Bir ikinci dereceden fonksiyonun işaretini incelemek için öncelikle fonksiyonun sıfır olduğu noktaları, yani köklerini bulmamız gerekir. Bu noktalar, fonksiyonun işaret değiştirdiği yerlerdir.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Biz $f(x) = 0$ denklemini çözeceğiz:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $8$ ve toplamları $-6$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-2$ ve $-4$'tür.
$(x - 2)(x - 4) = 0$
Buradan köklerimizi buluruz:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$
Demek ki fonksiyonumuz $x=2$ ve $x=4$ noktalarında sıfır değerini alıyor.
İkinci dereceden bir fonksiyon olan $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindeki bir parabolün kolları, $a$ katsayısının işaretine göre yukarı veya aşağı doğru açılır.
Bizim fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Burada $a = 1$'dir. $a > 0$ olduğu için parabolün kolları yukarı doğru açılır.
Kökleri ve parabolün yönünü bildiğimize göre, fonksiyonun hangi aralıklarda pozitif, hangi aralıklarda negatif olduğunu belirleyebiliriz.
Kolları yukarı doğru açılan bir parabol, köklerinin dışında pozitif, köklerinin arasında ise negatif değerler alır.
Köklerimiz $2$ ve $4$ idi. Bu durumda:
Bizden $f(x) > 0$ eşitsizliğini sağlayan aralığı bulmamız isteniyordu. Bu da $x < 2$ veya $x > 4$ durumlarını kapsar.
Bulduğumuz aralıkları matematiksel olarak ifade edersek:
Bu iki aralığın birleşimi, eşitsizliği sağlayan en geniş $x$ aralığıdır. Eşitsizlik $f(x) > 0$ olduğu için kökler dahil edilmez, yani aralıklar açık aralıklar şeklinde yazılır.
Çözüm kümesi: $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$
Bu çözüm, seçeneklerdeki A şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
