Bir sınıftaki 20 öğrencinin boy uzunlukları ölçülmüş ve standart sapması 6 cm bulunmuştur. Ölçümler santimetre yerine metre cinsinden ifade edilseydi, standart sapma ne olurdu?
A) 0.06 mMerhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, standart sapmanın birim dönüşümlerinden nasıl etkilendiğini öğreneceğiz. Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani verilerin ne kadar yaygın olduğunu gösteren bir ölçümdür. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim.
1. Adım: Standart Sapmanın Anlamını Hatırlayalım
Standart sapma, bir veri grubundaki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösterir. En önemli özelliklerinden biri, birim olarak, ölçülen verilerin birimiyle aynı olmasıdır. Örneğin, boy uzunlukları santimetre cinsinden ölçülüyorsa, standart sapma da santimetre cinsinden ifade edilir.
2. Adım: Mevcut Durumu İnceleyelim
Soruda bize, 20 öğrencinin boy uzunluklarının standart sapmasının 6 cm olduğu verilmiş. Yani verilerimiz santimetre cinsinden ve bu verilerin yayılımı 6 cm olarak belirlenmiş.
3. Adım: Birim Dönüşümünü Anlayalım
Şimdi boy uzunluklarını santimetre (cm) yerine metre (m) cinsinden ifade etmek istiyoruz. Santimetre ile metre arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:
Bir metre, 100 santimetreye eşittir ($1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$).
Bu durumda, bir santimetre, metrenin yüzde birine eşittir ($1 \text{ cm} = \frac{1}{100} \text{ m}$ veya $0.01 \text{ m}$).
Yani, santimetre cinsinden bir değeri metreye çevirmek için o değeri 100'e bölmemiz gerekir.
4. Adım: Standart Sapmanın Birim Dönüşümüne Tepkisi
İşte bu sorunun kilit noktası! Standart sapma, verilerin birimleriyle aynı oranda değişir. Eğer bir veri setindeki tüm değerleri bir sabitle çarpar veya bölersek, standart sapma da aynı sabitle çarpılır veya bölünür.
Bizim durumumuzda, her bir öğrencinin boy uzunluğunu santimetreden metreye çevirmek için 100'e bölüyoruz (yani $0.01$ ile çarpıyoruz). Bu durumda, standart sapma da aynı oranda değişecektir.
Matematiksel olarak ifade edersek: Eğer orijinal standart sapma $S_{eski}$ ve dönüşüm faktörü $k$ ise (yani her değeri $k$ ile çarpıyorsak), yeni standart sapma $S_{yeni} = |k| \cdot S_{eski}$ olur. Bizim durumumuzda, cm'den m'ye geçerken $k = \frac{1}{100} = 0.01$'dir.
5. Adım: Hesaplamayı Yapalım
Başlangıçtaki standart sapmamız 6 cm idi. Bunu metreye çevirmek için 100'e bölmemiz gerekiyor:
Yeni Standart Sapma $= \frac{6 \text{ cm}}{100} = 0.06 \text{ metre}$
6. Adım: Sonucu Belirleyelim
Ölçümler santimetre yerine metre cinsinden ifade edildiğinde, standart sapma $0.06 \text{ metre}$ olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
