Dönme kinetik enerjisi nedir (E_dönme = 1/2.I.ω²) Test 2

İnce homojen bir çubuk kütle merkezinden geçen eksen etrafında dönmektedir. Çubuğun boyu 2 katına, kütlesi 4 katına çıkarılırsa dönme kinetik enerjisi nasıl değişir? (Açısal hız sabit)

A) 4 katına çıkar
B) 8 katına çıkar
C) 16 katına çıkar
D) 32 katına çıkar

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, dönen bir çubuğun kütlesi ve boyu değiştiğinde dönme kinetik enerjisinin nasıl etkilendiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu değişimi hesaplayalım.

• 1. Dönme Kinetik Enerjisi Formülü:

  Bir cismin dönme kinetik enerjisi ($K$) aşağıdaki formülle verilir:

  $K = \frac{1}{2} I \omega^2$

  Burada $I$ eylemsizlik momenti, $\omega$ ise açısal hızdır.

• 2. Çubuk İçin Eylemsizlik Momenti:

  Kütle merkezinden geçen bir eksen etrafında dönen ince, homojen bir çubuk için eylemsizlik momenti ($I$) aşağıdaki formülle hesaplanır:

  $I = \frac{1}{12} mL^2$

  Burada $m$ çubuğun kütlesi, $L$ ise çubuğun boyudur.

• 3. Başlangıç Durumu (İlk Kinetik Enerji):

  Başlangıçtaki kütleyi $m_1$, boyu $L_1$ ve açısal hızı $\omega$ olarak alalım.

  Başlangıçtaki eylemsizlik momenti: $I_1 = \frac{1}{12} m_1 L_1^2$

  Başlangıçtaki dönme kinetik enerjisi: $K_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{12} m_1 L_1^2 \right) \omega^2$

• 4. Yeni Durum (Değişen Parametreler):

  Soruda verilen bilgilere göre, çubuğun kütlesi ve boyu değişiyor. Açısal hızın sabit kaldığı belirtilmiştir.

  Yeni kütle: $m_2 = 2m_1$ (Kütle 2 katına çıkarılıyor)

  Yeni boy: $L_2 = 4L_1$ (Boy 4 katına çıkarılıyor)

  Yeni açısal hız: $\omega_2 = \omega$ (Açısal hız sabit)

• 5. Yeni Eylemsizlik Momentini Hesaplama:

  Yeni kütle ve boy değerlerini eylemsizlik momenti formülünde yerine koyalım:

  $I_2 = \frac{1}{12} m_2 L_2^2$

  $I_2 = \frac{1}{12} (2m_1) (4L_1)^2$

  Önce boyun karesini alalım: $(4L_1)^2 = 16L_1^2$

  $I_2 = \frac{1}{12} (2m_1) (16L_1^2)$

  Şimdi katsayıları çarpalım: $2 \times 16 = 32$

  $I_2 = \frac{1}{12} (32 m_1 L_1^2)$

  $I_2 = 32 \left( \frac{1}{12} m_1 L_1^2 \right)$

  Gördüğümüz gibi, parantez içindeki ifade başlangıçtaki eylemsizlik momenti $I_1$'e eşittir. Yani:

  $I_2 = 32 I_1$

  Bu, eylemsizlik momentinin 32 katına çıktığı anlamına gelir.

• 6. Yeni Dönme Kinetik Enerjisini Hesaplama:

  Yeni eylemsizlik momenti $I_2$ ve sabit açısal hız $\omega$ ile yeni dönme kinetik enerjisini bulalım:

  $K_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega^2$

  $I_2$ yerine $32 I_1$ yazalım:

  $K_2 = \frac{1}{2} (32 I_1) \omega^2$

  $K_2 = 32 \left( \frac{1}{2} I_1 \omega^2 \right)$

  Parantez içindeki ifade başlangıçtaki dönme kinetik enerjisi $K_1$'e eşittir. Yani:

  $K_2 = 32 K_1$

  Bu durumda, dönme kinetik enerjisi 32 katına çıkar.

Cevap D seçeneğidir.