10. Sınıf Bağımsız Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır? Test 2

Bir madeni para 3 kez atılıyor. Bu üç atışın tamamında yazı gelmesi olayı ile en az bir tura gelmesi olayı bağımsız mıdır?

A) Evet, çünkü olayların gerçekleşmesi birbirini etkilemez
B) Hayır, çünkü bu olaylar ayrık olaylardır
C) Evet, çünkü örnek uzayın tüm elemanları eş olasılıklıdır
D) Hayır, çünkü bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını sıfır yapar

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, madeni para atma deneyi üzerinden iki olayın bağımsız olup olmadığını inceleyeceğiz. Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemediği olaylardır. Bu tanımı akılda tutarak adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Örnek Uzayı Belirleyelim.

  Bir madeni para 3 kez atıldığında, her atışta Yazı (Y) veya Tura (T) olmak üzere 2 olası sonuç vardır. Dolayısıyla, 3 atış için toplam $2^3 = 8$ farklı olası sonuç bulunur. Bu sonuçların kümesine örnek uzay ($\Omega$) denir.

  $\Omega$ = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}

  Toplam olası sonuç sayısı: $N(\Omega) = 8$.

• Adım 2: Olay A'yı Tanımlayalım ve Olasılığını Bulalım.

  Olay A: "Üç atışın tamamında yazı gelmesi".

  Bu olayın gerçekleştiği tek bir sonuç vardır: A = {YYY}

  Olay A'nın eleman sayısı: $N(A) = 1$.

  Olay A'nın olasılığı: $P(A) = N(A) / N(\Omega) = 1/8$.

• Adım 3: Olay B'yi Tanımlayalım ve Olasılığını Bulalım.

  Olay B: "En az bir tura gelmesi".

  Bu, 1 tura, 2 tura veya 3 tura gelmesi anlamına gelir. Bu olayın tümleyeni ($B^c$), "hiç tura gelmemesi" durumudur ki bu da "tüm atışların yazı gelmesi" anlamına gelir.

  $B^c$ = {YYY}

  $P(B^c) = 1/8$.

  Olay B'nin olasılığı: $P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 1/8 = 7/8$.

  (Alternatif olarak, B olayının elemanlarını sayabiliriz: B = {YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}. $N(B) = 7$, dolayısıyla $P(B) = 7/8$.)

• Adım 4: Olay A ve B'nin Kesişimini ($A \cap B$) Bulalım.

  $A \cap B$ olayı, hem "üç atışın tamamında yazı gelmesi" hem de "en az bir tura gelmesi" durumunun aynı anda gerçekleşmesidir.

  Eğer üç atışın tamamı yazı gelirse (YYY), bu durumda hiç tura gelmemiş demektir. Dolayısıyla, "en az bir tura gelmesi" olayı gerçekleşemez.

  Bu iki olay aynı anda gerçekleşemez. Yani, $A \cap B = \emptyset$ (boş küme).

  Bu durumda, $P(A \cap B) = 0$ olur.

• Adım 5: Bağımsızlık Koşulunu Kontrol Edelim.

  İki olayın (A ve B) bağımsız olması için $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ koşulunu sağlaması gerekir.

  • Sol taraf: $P(A \cap B) = 0$ (Adım 4'ten).
  • Sağ taraf: $P(A) \cdot P(B) = (1/8) \cdot (7/8) = 7/64$.

  Gördüğümüz gibi, $0 \neq 7/64$. Bu eşitlik sağlanmadığı için olaylar A ve B bağımsız değildir.

• Adım 6: Seçenekleri Değerlendirelim.

  Olayların bağımsız olmadığını bulduk. Şimdi nedenini açıklayan en uygun seçeneği bulmalıyız.

  • A ve C seçenekleri "Evet" dediği için elenir.
  • B seçeneği: "Hayır, çünkü bu olaylar ayrık olaylardır". Olay A ve B aynı anda gerçekleşemediği için (kesişimleri boş küme olduğu için) bu olaylar gerçekten de ayrık olaylardır. Ayrık olaylar, olasılıkları sıfır olmadığı sürece bağımsız olamazlar.
  • D seçeneği: "Hayır, çünkü bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını sıfır yapar". Bu ifade, bağımsızlık tanımının koşullu olasılık versiyonuyla doğrudan ilişkilidir. Eğer A olayı gerçekleşirse (yani YYY gelirse), B olayının (en az bir tura gelmesi) gerçekleşme olasılığı sıfır olur ($P(B|A) = 0$). Ancak, B olayının başlangıçtaki olasılığı $P(B) = 7/8$'dir. Bağımsızlık için $P(B|A) = P(B)$ olması gerekir. Burada $0 \neq 7/8$ olduğundan, olaylar bağımsız değildir. D seçeneği, bu durumu çok net bir şekilde açıklamaktadır. A olayının gerçekleşmesi, B olayının gerçekleşme olasılığını tamamen ortadan kaldırır.

  Hem B hem de D seçeneği doğru birer ifadedir ancak D seçeneği, bağımsızlık kavramının temelini oluşturan koşullu olasılık ilişkisini daha doğrudan ve açıklayıcı bir şekilde ifade eder. Bir olayın gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmesi (burada sıfır yapması), bağımsız olmamanın en açık göstergesidir.

Cevap D seçeneğidir.