Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin özelliklerini kullanarak üçgenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilenleri Anlayalım ve Şekli Gözümüzde Canlandıralım:
- Bir dik üçgenimiz var. Bu üçgenin dik köşesinden hipotenüse bir yükseklik çizilmiş.
- Bu yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırmış: 3 cm ve 12 cm.
- Bizden bu üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
- 2. Öklid Bağıntılarını Hatırlayalım (Yükseklik Teoremi):
- Bir dik üçgende hipotenüse çizilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Yüksekliğe $h$, hipotenüsün ayrıldığı parçalara $p$ ve $k$ dersek, formülümüz $h^2 = p \cdot k$ şeklindedir.
- 3. Yüksekliği (h) Hesaplayalım:
- Soruda verilen parçalar $p = 3$ cm ve $k = 12$ cm'dir.
- Formülü uygulayalım: $h^2 = 3 \cdot 12$
- $h^2 = 36$
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: $h = \sqrt{36}$
- $h = 6$ cm olarak yüksekliği buluruz.
- 4. Hipotenüsün Uzunluğunu Hesaplayalım:
- Hipotenüs, yüksekliğin ayırdığı iki parçanın toplamıdır.
- Hipotenüs uzunluğu $= 3 \text{ cm} + 12 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$.
- 5. Üçgenin Alanını Hesaplayalım:
- Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
- Burada taban olarak hipotenüsü ($15$ cm) ve bu tabana ait yükseklik olarak az önce bulduğumuz $h$ ($6$ cm) değerini kullanabiliriz.
- Alan $= \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$
- Alan $= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6$
- Alan $= \frac{1}{2} \cdot 90$
- Alan $= 45 \text{ cm}^2$
Bu adımları takip ederek üçgenin alanını $45 \text{ cm}^2$ olarak bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
