9. Sınıf Çizge Kuramı (Königsberg Şehri) Nedir? Test 2

Bir çizgede Euler yolunun var olması için gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A) Tam olarak 0 veya 2 köşenin derecesi tek olmalı
B) Tüm köşelerin dereceleri tek olmalı
C) Tam olarak 1 köşenin derecesi tek olmalı
D) Tam olarak 4 köşenin derecesi tek olmalı

Sevgili öğrenciler, bir çizgede Euler yolunun varlığı, çizgenin yapısıyla, özellikle de köşelerin dereceleriyle yakından ilişkilidir. Şimdi bu konuyu adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Euler Yolu Nedir?

  Bir Euler yolu, bir çizgedeki tüm kenarları (yolları) her kenarı tam olarak bir kez kullanarak geçen bir yoldur. Bu yol, başladığı köşeden farklı bir köşede bitebilir. Eğer yol başladığı köşede bitiyorsa, buna Euler devresi denir.

• Adım 2: Köşenin Derecesi Nedir?

  Bir köşenin derecesi, o köşeye bağlı olan kenar sayısıdır. Örneğin, bir kavşaktan çıkan yol sayısı gibi düşünebilirsiniz. Bir köşenin derecesi tek veya çift olabilir.

• Adım 3: Euler Yolu ve Köşe Dereceleri Arasındaki İlişki

  Bir Euler yolu boyunca ilerlerken, yolun başlangıç ve bitiş noktaları hariç, diğer tüm köşelerden "geçiş" yaparız. Bir köşeden her girdiğimizde, o köşeden bir başka kenar kullanarak çıkmamız gerekir. Bu durum, o köşeye gelen her kenar için bir de çıkan kenar olması gerektiği anlamına gelir.

  • Eğer bir köşenin derecesi çift ise, o köşeye her girdiğimizde bir başka kenardan çıkabiliriz. Bu köşeler, Euler yolu üzerinde "ara geçiş noktaları" olarak işlev görür.
  • Eğer bir köşenin derecesi tek ise, bu köşe ya yolun başlangıç noktası ya da bitiş noktası olmalıdır. Çünkü bu köşeye girdiğimizde çıkacak bir kenar kalmayabilir ya da tam tersi.
• Adım 4: Euler Yolu İçin Gerekli Koşul

  Bir çizgede Euler yolunun var olabilmesi için iki temel durum söz konusudur:

  • Durum 1: Euler Devresi Varsa (Başlangıç = Bitiş)

    Eğer bir Euler devresi varsa (yani yol başladığı köşede bitiyorsa), yol üzerindeki tüm köşelerden sadece geçiş yaparız. Her köşeye girdiğimizde bir kenar kullanırız ve çıktığımızda başka bir kenar kullanırız. Bu durumda, tüm köşelerin dereceleri çift olmalıdır. Yani, tek dereceli köşe sayısı 0 olmalıdır.

  • Durum 2: Euler Yolu Varsa (Başlangıç $\neq$ Bitiş)

    Eğer bir Euler yolu varsa ve başlangıç ile bitiş noktaları farklıysa:

    • Yolun başladığı köşe: Bu köşeden yola çıktığımız için bir kenar kullanırız. Geri kalan kenarlar çift sayıda olmalıdır ki bu köşeden her girdiğimizde çıkabilelim. Bu nedenle başlangıç köşesinin derecesi tek olmalıdır.
    • Yolun bittiği köşe: Bu köşeye geliriz ve yol biter. Buraya gelen son kenar kullanılır. Geri kalan kenarlar çift sayıda olmalıdır. Bu nedenle bitiş köşesinin derecesi de tek olmalıdır.
    • Diğer tüm ara köşeler: Bu köşelerden sadece geçeriz. Her girdiğimizde çıktığımız için dereceleri çift olmalıdır.

    Sonuç olarak, tam olarak iki köşenin derecesi tek olmalıdır (biri başlangıç, diğeri bitiş köşesi).

  Matematikte önemli bir teorem olan El Sıkışma Lemması'nın bir sonucu olarak, bir çizgedeki tek dereceli köşe sayısı her zaman çifttir. Bu yüzden 1 veya 3 gibi tek sayıda tek dereceli köşe olamaz.

  Bu iki durumu birleştirdiğimizde, bir Euler yolunun var olması için tam olarak 0 (Euler devresi için) veya 2 (Euler yolu için) köşenin derecesi tek olmalıdır.

• Adım 5: Seçeneklerin Değerlendirilmesi
  • A) Tam olarak 0 veya 2 köşenin derecesi tek olmalı: Bu, yukarıda açıkladığımız Euler yolu ve Euler devresi koşullarını tam olarak karşılamaktadır.
  • B) Tüm köşelerin dereceleri tek olmalı: Bu mümkün değildir, çünkü bir çizgedeki tek dereceli köşe sayısı her zaman çift olmalıdır.
  • C) Tam olarak 1 köşenin derecesi tek olmalı: Bu da mümkün değildir, tek dereceli köşe sayısı her zaman çift olmalıdır.
  • D) Tam olarak 4 köşenin derecesi tek olmalı: Eğer 4 tek dereceli köşe varsa, bir Euler yolu veya devresi var olamaz. Çünkü bir Euler yolu sadece iki tek dereceli köşeyi başlangıç ve bitiş noktası olarak kullanabilir.

Cevap A seçeneğidir.