f(x) = √(x-2) + √(4-x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 2]Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak, o fonksiyonu tanımlı yapan tüm $x$ değerlerini bulmak demektir. Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$ iki ayrı kareköklü ifadenin toplamından oluşmaktadır. Kareköklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması, yani sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
Fonksiyonun ilk terimi $\sqrt{x-2}$'dir. Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki $x-2$ ifadesi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
$x-2 \ge 0$
Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $x \ge 2$ sonucunu elde ederiz. Bu, $x$ değerlerinin $[2, \infty)$ aralığında olması gerektiği anlamına gelir.
Fonksiyonun ikinci terimi $\sqrt{4-x}$'tir. Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki $4-x$ ifadesi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
$4-x \ge 0$
Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $4 \ge x$ veya $x \le 4$ sonucunu elde ederiz. Bu, $x$ değerlerinin $(-\infty, 4]$ aralığında olması gerektiği anlamına gelir.
Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için, her iki kareköklü ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu da bulduğumuz iki koşulun (eşitsizliğin) kesişimini almamız gerektiği anlamına gelir.
Birinci koşul: $x \ge 2 \implies [2, \infty)$
İkinci koşul: $x \le 4 \implies (-\infty, 4]$
Bu iki aralığın kesişimi, her iki koşulu da sağlayan $x$ değerlerini verecektir:
$[2, \infty) \cap (-\infty, 4] = [2, 4]$
Bu aralık, $x$ değerlerinin $2$ ile $4$ arasında, $2$ ve $4$ dahil olmak üzere tüm reel sayıları içermesi gerektiğini gösterir.
Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi $[2, 4]$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
