f(x) = √(x+1) ve g(x) = √(4-x) fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f+g)(x) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [-1, 4]Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı fonksiyonun toplamının tanım kümesini bulacağız. Fonksiyonların tanım kümesini bulurken dikkat etmemiz gereken en önemli noktalardan biri, fonksiyonun matematiksel olarak hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğudur. Özellikle karekök içeren fonksiyonlarda, kökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerektiğini unutmayın.
Öncelikle, bir fonksiyonun tanım kümesinin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyonu tanımlı yapan tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Özellikle, karekök içeren fonksiyonlarda kökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir, çünkü reel sayılarda negatif sayıların karekökü tanımsızdır.
Şimdi $f(x) = \sqrt{x+1}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulalım:
Karekökün içindeki ifade $x+1$ olduğundan, bu ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: $x+1 \ge 0$.
Bu eşitsizliği çözmek için her iki taraftan $1$ çıkarırız: $x \ge -1$.
Yani, $f(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $D_f = [-1, \infty)$ aralığıdır. Bu, $x$ değerlerinin $-1$'e eşit veya daha büyük olabileceği anlamına gelir.
Sırada $g(x) = \sqrt{4-x}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulmak var:
Karekökün içindeki ifade $4-x$ olduğundan, bu ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: $4-x \ge 0$.
Bu eşitsizliği çözmek için $x$'i eşitsizliğin diğer tarafına atarız: $4 \ge x$ veya $x \le 4$.
Yani, $g(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $D_g = (-\infty, 4]$ aralığıdır. Bu, $x$ değerlerinin $4$'e eşit veya daha küçük olabileceği anlamına gelir.
Son olarak, $(f+g)(x)$ fonksiyonunun tanım kümesini bulmalıyız. İki fonksiyonun toplamının (veya farkının, çarpımının) tanım kümesi, bu fonksiyonların ayrı ayrı tanım kümelerinin kesişimidir. Yani, hem $f(x)$ hem de $g(x)$ aynı anda tanımlı olmalıdır.
$f(x)$'in tanım kümesi: $D_f = [-1, \infty)$
$g(x)$'in tanım kümesi: $D_g = (-\infty, 4]$
$(f+g)(x)$'in tanım kümesi $D_{f+g} = D_f \cap D_g$ olacaktır.
Bu kesişimi bulmak için, $x$ hem $x \ge -1$ koşulunu hem de $x \le 4$ koşulunu sağlamalıdır.
Bu iki koşulu birleştirirsek, $-1 \le x \le 4$ elde ederiz.
Bu aralık, kapalı aralık gösterimiyle $[-1, 4]$ olarak ifade edilir. Bu, $x$ değerlerinin $-1$ ile $4$ arasında, bu sayılar dahil olmak üzere, herhangi bir değer alabileceği anlamına gelir.
Bu durumda, $(f+g)(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[-1, 4]$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
